Задача
Центры [latex]A[/latex], [latex]B[/latex] и [latex]C[/latex] трех непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами расположены в вершинах треугольника. Из точек [latex]A[/latex], [latex]B[/latex], [latex]C[/latex] проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке 1. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Решение
Введем обозначения так, как показано на рисунке 1. Так как данные окружности имеют одинаковые радиусы, то:
[latex]AC_{1}=CA_{2}[/latex], [latex]BA_{1}=AB_{2}[/latex], [latex]CB_{1}=BC_{2}[/latex],
или
[latex]AB_{4}+B_{4}C_{5}+C_{5}C_{1}=CB_{4}+B_{4}A_{3}+A_{3}A_{2}[/latex],
[latex]BC_{4}+C_{4}A_{3}+A_{3}A_{1}=AC_{4}+C_{4}B_{3}+B_{3}B_{2}[/latex],
[latex]CA_{4}+A_{4}B_{3}+B_{3}B_{1}=BA_{4}+A_{4}C_{2}+C_{5}C_{2}[/latex].
Сложив полученные равенства и заметив, что
[latex]A_{3}A_{1}=A_{3}A_{2}[/latex],
[latex]B_{3}B_{1}=B_{3}B_{2}[/latex],
[latex]C_{3}C_{1}=C_{3}C_{2}[/latex]
(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и
[latex]AC_{4}=C_{4}B[/latex], [latex]BA_{4}=A_{4}C[/latex], [latex]CB_{4}=B_{4}A[/latex]
(так как радиусы данных окружностей равны), получим
[latex]B_{4}C_{3}+C_{4}A_{3}+A_{4}B_{3}=B_{4}A_{3}+C_{4}B_{3}+A_{4}C_{3}[/latex],
что и требовалось доказать.
Замечания
1. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, изображенном на рисунке 2.
Д.Терешин
— «Квант» — это не ключевое слово, а место публикации задачи. Ключевые слова отражают смысл публикации.
— Разметка должна быть семантической. Всякие style=»text-align: left» недопустимы
Исправлено