Достаточные условия дифференцируемости функции в точке

Теорема (Достаточные условия дифференцируемости функции в точке)

Пусть функция f принадлежит классу C^{1}(E), где открытое множество E\subset \mathbb{R}^{n} . Тогда f дифференцируема на E.

Через C^{1}(E) обозначается класс всех всех непрерывно дифференцируемых на множестве E функций.

Доказательство

Фиксируем x_{0}\in E. Поскольку множество E открыто, то существует шар U_{0} с центром в этой точке, целиком содержащийся в E. Пусть r– радиус этого шара и вектор h имеет длину \left | h \right |<r. Обозначим: x_{j}=x_{0}+h^{1}e_{1}+...+h^{j}e_{j}, (j=1,...,n). Ясно, что x_{n}=x_{0}+h.
Заметим, что все x_{j} принадлежат шару U_{0}. Действительно,$$\left | x_{0}-x_{j} \right |=\sqrt{\sum_{i=1}^{j}(h^{j})^{2}}\leq \left | h \right |< r.$$
Поскольку шар – выпуклое множество, то каждый из отрезков [ x_{j-1},x_{j} ] содержится в U_{0}. Действительно, этот отрезок – это множество точек x=(1-t)x_{j-1}+tx_{j}, где 0\leq t\leq 1, и мы получаем \left | x_{0}-x_{j} \right |\leq (1-t)\left | x_{0}-x_{j-1} \right |+\left | x_{0}-x_{j} \right |< r.
Воспользуемся равенством: $$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ].$$
Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых в правой части. При фиксированном j положим  g(t)=f(x_{j-1}+te_{j}), (0\leq t\leq h^{j}) . По определению частной производной имеем: $$ g{}'(t)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{j-1}+te_{j}) .$$
По формуле Лагранжа получаем:
$$ f(x_{j})-f(x_{j-1})=g(h^{j})-g(0)=g{}'(\tau _{j})h^{j}=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi _{j})h^{j},$$
где \xi _{j}=x_{j-1}+\tau_{j}e_{j} — некоторая точка отрезка, соединяющего x_{j-1} и x_{j}.
Имеем  \left | x_{0}-\xi_{j} \right |\leq \left | h \right | .
Обозначим $$ \alpha _{j}(h)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})-\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j}) .$$
По условию все частные производные непрерывны в точке x_{0} и поэтому \lim_{h\rightarrow 0}\alpha _{j}(h)=0 , (j=1,...,n).
В силу равенства $$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ]$$ имеем:
$$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j})h^{j}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j}-\sum_{j=1}^{n}\alpha _{j}(h)h^{j}=$$$$=A(h)+\rho (h),$$
где $$ A(h)=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j} .$$
Итак, A является линейной формой аргумента h, а \left | \rho(h) \right |\leq \left | h \right |\sum_{j=1}^{n}\left | \alpha_{j}(h) \right |.
Поэтому, получаем, что \frac{\rho(h)}{\left | h \right |}\rightarrow 0 при h\rightarrow 0.
Согласно определению дифференцируемости, теорема доказана.\square

Замечание 1

Из доказательства видно, что если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки x_{0} и в этой точке все они непрерывны, то функция дифференцируема в точке x_{0}.

Замечание 2

Непрерывность частных производных – только достаточное условие дифференцируемости. Оно не является необходимым.

Следствие

Каждая функция класса C^{1} непрерывна.


Пример показать

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

Проверка знания достаточного условия дифференцируемости функции в точке


Таблица лучших: Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *