Достаточные условия дифференцируемости функции в точке

Теорема (Достаточные условия дифференцируемости функции в точке)

Пусть функция [latex]f[/latex] принадлежит классу [latex]C^{1}(E)[/latex], где открытое множество [latex]E\subset \mathbb{R}^{n}[/latex] . Тогда [latex]f[/latex] дифференцируема на [latex]E[/latex].

Через [latex]C^{1}(E)[/latex] обозначается класс всех всех непрерывно дифференцируемых на множестве [latex]E[/latex] функций.

Доказательство

Фиксируем [latex]x_{0}\in E[/latex]. Поскольку множество [latex]E[/latex] открыто, то существует шар [latex]U_{0}[/latex] с центром в этой точке, целиком содержащийся в [latex]E[/latex]. Пусть [latex]r[/latex]– радиус этого шара и вектор [latex]h[/latex] имеет длину [latex]\left | h \right |<r[/latex]. Обозначим: [latex]x_{j}=x_{0}+h^{1}e_{1}+…+h^{j}e_{j}, (j=1,…,n)[/latex]. Ясно, что [latex]x_{n}=x_{0}+h[/latex].
Заметим, что все [latex]x_{j}[/latex] принадлежат шару [latex]U_{0}[/latex]. Действительно,$$\left | x_{0}-x_{j} \right |=\sqrt{\sum_{i=1}^{j}(h^{j})^{2}}\leq \left | h \right |< r.$$
Поскольку шар – выпуклое множество, то каждый из отрезков [latex][ x_{j-1},x_{j} ][/latex] содержится в [latex]U_{0}[/latex]. Действительно, этот отрезок – это множество точек [latex]x=(1-t)x_{j-1}+tx_{j}[/latex], где [latex]0\leq t\leq 1[/latex], и мы получаем [latex]\left | x_{0}-x_{j} \right |\leq (1-t)\left | x_{0}-x_{j-1} \right |+\left | x_{0}-x_{j} \right |< r[/latex].
Воспользуемся равенством: $$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ].$$
Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых в правой части. При фиксированном [latex]j[/latex] положим [latex] g(t)=f(x_{j-1}+te_{j})[/latex], [latex](0\leq t\leq h^{j}) [/latex]. По определению частной производной имеем: $$ g{}'(t)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{j-1}+te_{j}) .$$
По формуле Лагранжа получаем:
$$ f(x_{j})-f(x_{j-1})=g(h^{j})-g(0)=g{}'(\tau _{j})h^{j}=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi _{j})h^{j},$$
где [latex]\xi _{j}=x_{j-1}+\tau_{j}e_{j}[/latex] — некоторая точка отрезка, соединяющего [latex]x_{j-1}[/latex] и [latex]x_{j}[/latex].
Имеем [latex] \left | x_{0}-\xi_{j} \right |\leq \left | h \right | [/latex].
Обозначим $$ \alpha _{j}(h)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})-\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j}) .$$
По условию все частные производные непрерывны в точке [latex]x_{0}[/latex] и поэтому [latex]\lim_{h\rightarrow 0}\alpha _{j}(h)=0 , (j=1,…,n)[/latex].
В силу равенства $$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ]$$ имеем:
$$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j})h^{j}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j}-\sum_{j=1}^{n}\alpha _{j}(h)h^{j}=$$$$=A(h)+\rho (h),$$
где $$ A(h)=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j} .$$
Итак, [latex]A[/latex] является линейной формой аргумента [latex]h[/latex], а [latex]\left | \rho(h) \right |\leq \left | h \right |\sum_{j=1}^{n}\left | \alpha_{j}(h) \right |[/latex].
Поэтому, получаем, что [latex]\frac{\rho(h)}{\left | h \right |}\rightarrow 0[/latex] при [latex]h\rightarrow 0[/latex].
Согласно определению дифференцируемости, теорема доказана.[latex]\square [/latex]

Замечание 1

Из доказательства видно, что если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки [latex]x_{0}[/latex] и в этой точке все они непрерывны, то функция дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex].

Замечание 2

Непрерывность частных производных – только достаточное условие дифференцируемости. Оно не является необходимым.

Следствие

Каждая функция класса [latex]C^{1}[/latex] непрерывна.

[spoilergroup]

Спойлер

Пусть
[latex]f(x)=\left | x \right |^{2}\sin \frac{1}{\left | x \right |^{2}}[/latex], [latex]x\neq 0[/latex] и [latex]f(x)=0[/latex], [latex]x=0[/latex].
Найдем частные производные
[latex]\frac{\partial f}{\partial x^{i}}=2x^{j}\sin \frac{1}{\left | x \right |^{2}}-\frac{2x^{i}}{\left | x \right |^{2}}\cos \frac{1}{\left | x \right |^{2}}[/latex], [latex](x\neq0)[/latex].
При [latex]x=0[/latex] наша функция дифференцируема, т.к. [latex]f(h)-f(0)=f(h)=\bar{o}(\left | h \right |)[/latex]. Однако, как легко видеть, все частные производные разрывны в точке [latex]x=0[/latex].

[свернуть]

[/spoilergroup]

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

Проверка знания достаточного условия дифференцируемости функции в точке


Таблица лучших: Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *