М1570. Выпуклый многогранник с шестью вершинами

Задачи из журнала «Квант» (1996 год, выпуск 5)

Условие:

Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с шестью вершинами. Один из его двугранных углов — прямой. Доказать, что у  него ровно 6 прямых двугранных углов.

Доказательство:

Противоположные грани нашего многогранника симметричны относительно центра сферы О и потому параллельны. Все эти грани — треугольники (поскольку многогранник — выпуклая оболочка трех пар диаметрально противоположных точек сферы). Пусть [latex]AB[/latex] — ребро прямого двугранного угла, образуемого плоскостями граней [latex]ABC[/latex] и [latex]ABC'[/latex]. Эти две плоскости, а также параллельные им плоскости [latex]A’B’C'[/latex] и [latex]A’B’C[/latex], пересекают сферу по окружностям. Эти четыре окружности пересекаются в восьми точках — вершинах прямоугольного треугольного параллелепипеда(рис. 2). Точки [latex]C[/latex] и [latex]C'[/latex] должны (так же как и [latex]A[/latex] и [latex] A'[/latex] [latex]B[/latex] и [latex] B'[/latex]) лежать в некоторых двух противоположных вершинах этого параллелепипеда. Соответственно (быть может, поменяв обозначения точек [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex]), мы получаем единственный возможный пример — октаэдр [latex]ABCA’B’C'[/latex], вершины которого — это шесть вершин прямоугольного треугольного параллелепипеда [latex]ABCDD’C’A’B'[/latex](рис. 1). У этого октаэдра, очевидно, ровно шесть прямых двугранных углов — при ребрах [latex]AB[/latex], [latex]BC[/latex], [latex]CA'[/latex], [latex]A’B'[/latex], [latex]B’C'[/latex], [latex]C’A[/latex] (и шесть — тупых).

Jaja1

Jaja2

М1570. Выпуклый многогранник с шестью вершинами: 5 комментариев

    1. Название было придумано. Задачу добавил. Svg перерисовал руками.

    1. Явный размер не указывал, но на 4-х различных устройствах все буквы отображаются

      1. Если размер не задавать явно, то при включении SVG в в страницу побеждают значения из CSS. В данном случае, это проявляется в виде текста высотой в два пикселя при просмотре страницы и нормальной высоты текст при просмотре отдельно.
        Но если сейчас на рисунках выше Вы видите «правильный» текст (тем более на 4-х устройствах), то можно ничего не делать — это просто у меня глаза устали и неудачно масштабируют буквы.

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *