М2026. О площадях треугольников, находящихся внутри квадрата


Задача из журнала «Квант»(2007,№4)

Условие

На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD выбраны, соответственно, точки P, M, N, Q так, что \angle MAN =45^{o}, PM||AN, AN||NQ. Отрезок PQ пересекает AM и AN в точках F и G соответственно. Докажите что площадь треугольника AFG равна сумме площадей треугольников FMP и GNQ.

Решение

2026
Прежде всего отметим, что \angle PMA = \angle MAN = \angle ANQ, и значит, треугольники AFG, MFP и NQG подобны (см. рисунок). Поэтому утверждение задачи равносильно равенству GF^{2} = PF^{2} + GQ^{2}. Далее, треугольники NQD и MPB подобны треугольникам AMB и AND соответственно, следовательно, \frac{QD}{ND}=\frac{BM}{AB}, \frac{ND}{AD}=\frac{BP}{BM}. Перемножив эти равенства, получим, что BP = DQ, или AP = AQ. Пусть X — точка, симметричная P относительно AM. Тогда AX = AP = AQ и \angle XAN =45^{o} - \angle MAP = \angle NAD, т.е. X также симметрична Q относительно AN. Таким образом, XF = FP, XG = GQ и \angle XFG + \angle XGF = 360^{o} - 2\angle PFM - 2\angle QGN = 90^{o}. Применив к прямоугольному треугольнику XFG теорему Пифагора, получим искомое равенство.

М2026. О площадях треугольников, находящихся внутри квадрата: 3 комментария

  1. — Что это за «!DOCTYPE html>» перед текстом? Как говорится, не из этой оперы…
    — Где точка F? Как должны идти отрезки из неё? Буквы сделайте мельче и лучше другого цвета.
    — Почему это рубрика разное?
    — Где метки (ключевые слова)? Т.е. почему их нет?
    — Не придумали название задачи
    — Не подключили задачу на страницу http://ib.mazurok.com/kbaht/
    — Очень бедная семантическая разметка, почти отсутствует.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *