М2026. О площадях треугольников, находящихся внутри квадрата


Задача №2026 из журнала «Квант» (2007, №1 и №4)

Условие

На сторонах [latex]AB[/latex], [latex]BC[/latex], [latex]CD[/latex] и [latex]AD[/latex] квадрата [latex]ABCD[/latex] выбраны, соответственно, точки [latex]P[/latex], [latex]M[/latex], [latex]N[/latex], [latex]Q[/latex] так, что [latex]\angle MAN =45^{o}[/latex], [latex]PM||AN[/latex], [latex]AN||NQ[/latex]. Отрезок [latex]PQ[/latex] пересекает [latex]AM[/latex] и [latex]AN[/latex] в точках [latex]F[/latex] и [latex]G[/latex] соответственно. Докажите что площадь треугольника [latex]AFG[/latex] равна сумме площадей треугольников [latex]FMP[/latex] и [latex]GNQ[/latex].

Решение

2026
Прежде всего отметим, что [latex]\angle PMA = \angle MAN = \angle ANQ[/latex], и значит, треугольники [latex]AFG[/latex], [latex]MFP[/latex] и [latex]NQG[/latex] подобны (см. рисунок). Поэтому утверждение задачи равносильно равенству [latex]GF^{2} = PF^{2} + GQ^{2}[/latex]. Далее, треугольники [latex]NQD[/latex] и [latex]MPB[/latex] подобны треугольникам [latex]AMB[/latex] и [latex]AND[/latex] соответственно, следовательно, [latex]\frac{QD}{ND}=\frac{BM}{AB}, \frac{ND}{AD}=\frac{BP}{BM}[/latex]. Перемножив эти равенства, получим, что [latex]BP = DQ[/latex], или [latex]AP = AQ[/latex]. Пусть [latex]X[/latex] — точка, симметричная [latex]P[/latex] относительно [latex]AM[/latex]. Тогда [latex]AX = AP = AQ[/latex] и [latex]\angle XAN =45^{o} — \angle MAP = \angle NAD[/latex], т.е. [latex]X[/latex] также симметрична [latex]Q[/latex] относительно [latex]AN[/latex]. Таким образом, [latex]XF = FP, XG = GQ[/latex] и [latex]\angle XFG + \angle XGF = 360^{o} — 2\angle PFM — 2\angle QGN = 90^{o}[/latex]. Применив к прямоугольному треугольнику [latex]XFG[/latex] теорему Пифагора, получим искомое равенство.

М2026. О площадях треугольников, находящихся внутри квадрата: 3 комментария

  1. — Что это за «!DOCTYPE html>» перед текстом? Как говорится, не из этой оперы…
    — Где точка F? Как должны идти отрезки из неё? Буквы сделайте мельче и лучше другого цвета.
    — Почему это рубрика разное?
    — Где метки (ключевые слова)? Т.е. почему их нет?
    — Не придумали название задачи
    — Не подключили задачу на страницу http://ib.mazurok.com/kbaht/
    — Очень бедная семантическая разметка, почти отсутствует.

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *