Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница

Знакопеременным числовым рядом
называется ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.
Знакочередующийся ряд
Числовой ряд вида [latex]u_{1}-u_2+u_3-u_4+…+(-1)^{n-1}u_n+…,[/latex] где [latex]u_n — [/latex]это модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Теорема Лейбница(Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося числового ряда
[latex]u_{1}-u_2+u_3-u_4+…+(-1)^{n-1}u_n+…(*)[/latex]
Выполняются два условия:

  • Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине [latex]u_{1} > u_2 > …> u_n > …[/latex]
  • Члены ряда стремятся к нулю [latex]\lim_{n \to \infty} u_n = 0[/latex]

то ряд [latex](*)[/latex] сходится, при этом сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство:

Частичную сумму чётного порядка можно записать так: [latex]S_{2n}=(u_{1}-u_2)+(u_3-u_4)+…+(u_{2n-1}-u_{2n})[/latex].

По условию [latex]u_{1} > u_2 > …> u_{2n-1} > u_{2n},[/latex] следовательно все разности в скобках положительны, значит, [latex]S_{2n}[/latex] увеличивается с возрастанием [latex]n[/latex] и [latex]S_{2n}>0[/latex] при любом [latex]n.[/latex]

С другой стороны, если переписать так [latex]S_{2n}=u_{1}-[(u_2-u_3)+(u_4-u_5)+…+(u_{2n-2}-u_{2n-1})+u_{2n}].[/latex] Выражение в квадратных скобках положительно и  [latex]S_{2n}>0,[/latex] поэтому  [latex]S_{2n}<u_1[/latex]для любого  [latex]n.[/latex] Таким образом, последовательность частичных сумм [latex]S_{2n}[/latex] ограничена и возрастает, следовательно, существует конечный  [latex]\lim_{n \to \infty}S_{2n}=S.[/latex] При этом  [latex]0<S_{2n}\leq u_1.[/latex]

Переходя к частичную сумму нечётного порядка, имеем [latex]S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1}.[/latex] Перейдём в последнем равенстве к пределу при [latex]n \to \infty:\lim_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim_{n \to \infty}S_{2n}+\lim_{n \to \infty}u_{2n+1}=S+0=S.[/latex] Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного порядка имеют один и тот же предел [latex]S,[/latex] поэтому [latex]\lim_{n \to \infty}S_{n}=S,[/latex] следовательно данный ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

В данном тесте вы можете проверить, как вы усвоили материал.


Таблица лучших: Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Литература:

Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница: 2 комментария

  1. — Вопрос «Какое количество свой указанно в теореме?» не только содержит недописанное слово, но и неприемлем по смыслу. Вопросы должны касаться сути материала, а не внешних характеристик его подачи. Т.е. нельзя задавать вопросы типа «сколько раз использовалась буква А в доказательстве теоремы?». А Ваш вопрос именно такого типа.
    — В списке литературы Вы пишите «Конспект Лысенко», а ссылаетесь на книгу Коляды и Кореновского

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *