M1578

Задача из журнала «Квант» (1997, №1)

Условие

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции y=f(x), определенной при всех x, для которой

f(f(x))=x^{2}-1997.

Решение

Основная идея решения: разобраться, как устроены орбиты отображения x\rightarrow g(x)=x^{2}-1997, т.е. последовательность

x, g(x), g(g(x)),...

Нетрудно видеть, что при достаточно большом q, скажем, q>1 (в частности, при q=1997), функция g(x)=x^{2}-q имеет две неподвижные точки — это корни уравнения g(x)=x; обозначим их a и b. Кроме a и b, уравнение g(g(x))=x имеет еще два корня — обозначим их u и v. Чтобы их найти, достаточно заметить, что многочлен

g(g(x))-x=(x^{2}-q)^{2}-q-x

делится на g(x)-x=x^{2}-x-q и разложить его на множители:

x^{4}-2qx^{2}-x+q^{2}-q=(x^{2}-x-q)(x^{2}+x-q+1);

a и b — корни первого из трехчленов, u и v — второго. Они существуют и различны при 1+4(q-1)>0,
4
т.е. при q>3/4. При этом g(u)=v, g(v)=u. Все это хорошо видно из рисунка. Таким образом, точки u, v образуют единственный цикл u\rightarrow v\rightarrow u порядка 2 отображения x\rightarrow g(x).
Предположим теперь, что g(x) = f(f(x)). Ясно, что неподвижные точки и циклы порядка 2 функции f — это неподвижные точки функции g, и обратно: если f(a)=f(f(c))=c, т.е. c=a или c=b.
А цикл порядка 2 функции g должен получаться из цикла порядка 4 функции f: если f(u)=z, то f(z)=v; если f(v)=w, то f(w)=u. При этом z, w отличны от a, b, v, u(и друг от друга). Но тогда g(z)=f(f(z))=w, g(w)=z.
Таким образом, у функции g должен быть еще один цикл порядка 2, отличный от u\rightarrow v\rightarrow u. А такого у функции g(x)=x^{2}-q нет.
Замечание Поскольку в задаче допускаются и разрывные функции f, мы никак не можем использовать специфические свойства множества R, на котором определена функция g(x)=x^{2}-q, и поэтому единственная информация о ней, которую нужно использовать — это структура орбит: сколько из них конечных(циклических), какие сливаются в одну орбиту и т.п.

M1578: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *