M1578

Задача из журнала «Квант» (1997, №1)

Условие

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции [latex]y=f(x)[/latex], определенной при всех [latex]x[/latex], для которой

[latex]f(f(x))=x^{2}-1997[/latex].

Решение

Основная идея решения: разобраться, как устроены орбиты отображения [latex]x\rightarrow g(x)=x^{2}-1997[/latex], т.е. последовательность

[latex]x, g(x), g(g(x)),…[/latex]

Нетрудно видеть, что при достаточно большом [latex]q[/latex], скажем, [latex]q>1[/latex] (в частности, при [latex]q=1997[/latex]), функция [latex]g(x)=x^{2}-q[/latex] имеет две неподвижные точки — это корни уравнения [latex]g(x)=x[/latex]; обозначим их [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex]. Кроме [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex], уравнение [latex]g(g(x))=x[/latex] имеет еще два корня — обозначим их [latex]u[/latex] и [latex]v[/latex]. Чтобы их найти, достаточно заметить, что многочлен

[latex]g(g(x))-x=(x^{2}-q)^{2}-q-x[/latex]

делится на [latex]g(x)-x=x^{2}-x-q[/latex] и разложить его на множители:

[latex]x^{4}-2qx^{2}-x+q^{2}-q=(x^{2}-x-q)(x^{2}+x-q+1)[/latex];

[latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] — корни первого из трехчленов, [latex]u[/latex] и [latex]v[/latex] — второго. Они существуют и различны при [latex]1+4(q-1)>0[/latex],
4
т.е. при [latex]q>3/4[/latex]. При этом [latex]g(u)=v[/latex], [latex]g(v)=u[/latex]. Все это хорошо видно из рисунка. Таким образом, точки [latex]u[/latex], [latex]v[/latex] образуют единственный цикл [latex]u\rightarrow v\rightarrow u[/latex] порядка 2 отображения [latex]x\rightarrow g(x)[/latex].
Предположим теперь, что [latex]g(x) = f(f(x))[/latex]. Ясно, что неподвижные точки и циклы порядка 2 функции [latex]f[/latex] — это неподвижные точки функции [latex]g[/latex], и обратно: если [latex]f(a)=f(f(c))=c[/latex], т.е. [latex]c=a[/latex] или [latex]c=b[/latex].
А цикл порядка 2 функции [latex]g[/latex] должен получаться из цикла порядка 4 функции [latex]f[/latex]: если [latex]f(u)=z[/latex], то [latex]f(z)=v[/latex]; если [latex]f(v)=w[/latex], то [latex]f(w)=u[/latex]. При этом [latex]z[/latex], [latex]w[/latex] отличны от [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]v[/latex], [latex]u[/latex](и друг от друга). Но тогда [latex]g(z)=f(f(z))=w[/latex], [latex]g(w)=z[/latex].
Таким образом, у функции [latex]g[/latex] должен быть еще один цикл порядка 2, отличный от [latex]u\rightarrow v\rightarrow u[/latex]. А такого у функции [latex]g(x)=x^{2}-q[/latex] нет.
Замечание Поскольку в задаче допускаются и разрывные функции [latex]f[/latex], мы никак не можем использовать специфические свойства множества R, на котором определена функция [latex]g(x)=x^{2}-q[/latex], и поэтому единственная информация о ней, которую нужно использовать — это структура орбит: сколько из них конечных(циклических), какие сливаются в одну орбиту и т.п.

M1578: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *