Свойства сходящихся рядов

Свойство 1

Если ряды

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/latex] (1) и [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n[/latex] (2)

сходятся, и их суммы равны соответственно [latex]S[/latex], [latex]\sigma [/latex], то [latex]\forall \alpha ,\beta \epsilon \mathbb{R} [/latex] ряд

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)[/latex] (3)

сходится, при этом его сумма [latex]\tau=\alpha S+\beta\sigma[/latex].

Доказательство.

Пусть [latex]S_n, \sigma_n, \tau _n[/latex] n-е частичные суммы соответственно рядов (1), (2), (3). Тогда [latex] \tau _n=\alpha S_n +\beta \sigma_n[/latex]. Поскольку [latex]\left \{ S_n \right \}[/latex] и [latex]\left \{ \sigma _n \right \}[/latex] сходятся, то последовательность [latex]\left \{ \tau _n \right \}[/latex] имеет конечный предел по свойству сходящихся последовательностей, то есть ряд (3) сходится и справедливо [latex]\tau=\alpha S+\beta\sigma[/latex].

Замечание:

Если ряды (1) и (2) расходятся, то о сходимости ряда (3) ничего утверждать нельзя. Ряд может быть сходящимся, а может быть расходящимся.

Например:

  1. [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n[/latex] и [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n[/latex] — расходятся, и
    [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n+n)[/latex] расходится.
  2. [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n[/latex] и [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-n)[/latex] — расходятся, но
    [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n-n)=0[/latex] сходится.

Свойство 2

Если сходится ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/latex] (1), то [latex]\forall t\epsilon \mathbb{N}[/latex] сходится ряд [latex]\sum_{n=t+1}^{\infty}a_n[/latex]. (2)

Данный ряд называют t-м остатком ряда (1). Верно и обратное: если при фиксированном t ряд (2) сходится, тогда и ряд (1) сходится.

Доказательство.

Пусть [latex]\sum_{i=1}^{n}a_i=S_n[/latex] — n-я частичная сумма ряда (1) и [latex]\sum_{j=1}^{t+k}a_j=\sigma_k^{(t)}[/latex] — k-я частичная сумма ряда (2). Тогда
[latex]S_n=S_t+\sigma _k^{(t)}[/latex], где [latex]n=t+k[/latex]. (*)

Если ряд (1) сходится, то [latex]\exists \lim_{n \to \infty}S_n[/latex], причем конечный, таким образом из равенства (*) следует, что при фиксированном t существует конечный предел последовательности [latex]\left \{ \sigma _k^{(t)} \right \}[/latex] при [latex]k\rightarrow \infty[/latex], то есть ряд (2) сходится.

Обратное утверждение: если [latex]\exists \lim_{k \to \infty}\sigma_k^{(t)}[/latex] и он конечен при фиксированном t, то существует конечный [latex]\lim_{n \to \infty}S_n[/latex].

Замечание:

Свойство утверждает, что сходимость ряда не изменится, если отбросить конечное число членов ряда.

Свойство 3

Если ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/latex] (1) сходится, то ряд [latex]\sum_{j=1}^{\infty}b_j[/latex] (2), полученный путем группировки членов ряда (1) без изменения порядка их расположения, также сходится и его сумма равна сумме ряда (1).

Доказательство.

Пусть [latex]b_1=a_1+…+a_{k_{1}}[/latex]
[latex]b_{2}=a_{k_{1}+1}+…+a_{k_{2}}[/latex]

….

[latex]b_j=a_{k_{j-1}}+…+a_{k_{j}}[/latex],

где [latex]j\epsilon \mathbb{N}[/latex], [latex]\left \{ k_j \right \}[/latex] — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Пусть [latex]\sum_{k=1}^{n}a_k=S_n[/latex], [latex]\sum_{j=1}^{m}b_j=\sigma _m[/latex], тогда [latex]\sigma _m=S_{k_{m}}[/latex]. Так как [latex]\left \{ \sigma _m \right \}[/latex]-подпоследовательность сходящейся последовательности [latex]\left \{ S_n \right \}[/latex], то [latex]\exists \lim_{m \to \infty}\sigma _m=S[/latex], где [latex]S[/latex]-сумма ряда (1).

Литература

Свойства сходящихся рядов

Тест на проверку знаний свойств сходящихся рядов.

Свойства сходящихся рядов: 1 комментарий

  1. — Ни одной ссылки на другие страницы сайта или сайты в сети. Это такой оторванный от всего материал, что даже с Вашей второй публикацией не связан?
    — Точка в названии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *