M1567. О шестиугольнике, полученном при пересечении касательных

Задача из журнала «Квант» (1997, №2)

Условие

Центры A, B, C  и  трех непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами расположены в вершинах треугольника. Из точек A, B, C проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке 1. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Решение

Введем обозначения так, как показано на рисунке 1.

первый

Так как данные окружности  имеют одинаковые радиусы, то

AC1 =CA2, BA1 =AB2, CB1 =BC2,

или

AB4+B4C3+C3C1 =CB4+B4A3+A3A2,
BC4+C4A3+A3A1 =AC4+C4B3+B3B2,
CA4+A4B3+B3B1 =BA4+A4C3+C3C2,

Сложив полученные равенства и заметив, что

A3A1 =A3A2, B3B1 =B3B2, C3C1=C3C2

(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и

AC4 =C4B, BA4 =A4C, CB4 =B4A,

(так как радиусы данных окружностей равны), получим

B4C3+C4A3+A4B3 =B4A3+C4B3+A4C3

второй
Замечания.1. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, изображенном на рисунке 2.

M1567. О шестиугольнике, полученном при пересечении касательных: 1 комментарий

  1. Размера первого рисунка по высоте немного не хватает для отображения нижней окружности. Пустяк, но увеличьте немного.
    Придумайте название для задачи и разместите ссылку на страничке «Квант».

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *