Интегрирование по частям

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) определены и непрерывны вместе со своими первыми производными на отрезке [a,b] во всех точках. Исключением есть только точка b, которая может быть равна и +\infty. Тогда имеет место равенство:

$$\int\limits_{a}^{b}udv=uv|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}vdu$$

Где uv|_{a}^{b} — двойная подстановка и под ней понимаем разность:

$$\lim_{x \to b} u(x)v(x)-u(a)v(a)$$

При этом существование \int_{a}^{b}vdu вытекает из существования интеграла \int_{a}^{b}udv и двойной подстановки uv|_{a}^{b}.

Если любые два выражения из трех в равенстве имеют смысл, то и третье выражение тоже имеет смысл.

Доказательство

Возьмем x_0 такое, что a < x_0 < b проинтегрируем данный интеграл по частям на промежутке [a, x_0]:

$$\int\limits_{a}^{x_0}udv=(u(x_0)v(x_0)-u(a)v(a))-\int\limits_{a}^{x_0}vdu$$

Пусть теперь x_0 стремится к b. По условию два из входящих в данное равенство выражений имеют конечные пределы при x \to x_0. Следовательно третье выражение также имеет конечный предел. Равенство доказано с помощью предельного перехода.

Пример показать

Литература

Тест : Интегрирование по частям

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям: 1 комментарий

  1. — В Ваших статьях практически нет разметки. Даже список литературы у Вас не оформлен как список. Это не приемлемо.
    — На все статьи должен быть хоть один рисунок.
    — Если формула в тексте или тестах занимает отдельную строку, то подстрочные и надстрочные записи в интегралах, суммах и пределах не нужно вытягивать в линию, а нужно писать именно под и над знаками.
    — Функции в laTex кодируются так \sin \cos. Если этого не делать, то функция и аргумент сливается в не читаемое слово. Исправьте везде (особенно в тестах) для всех функция, включая логарифмы.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *