Интегрирование по частям

Пусть функции [latex]u=u(x)[/latex] и [latex]v=v(x)[/latex] определены и непрерывны вместе со своими первыми производными на отрезке [latex][a,b][/latex] во всех точках. Исключением есть только точка [latex]b[/latex], которая может быть равна и [latex]+\infty[/latex]. Тогда имеет место равенство:

$$\int\limits_{a}^{b}udv=uv|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}vdu$$

Где [latex]uv|_{a}^{b}[/latex] — двойная подстановка и под ней понимаем разность:

$$\lim_{x \to b} u(x)v(x)-u(a)v(a)$$

При этом существование [latex]\int_{a}^{b}vdu[/latex] вытекает из существования интеграла [latex]\int_{a}^{b}udv[/latex] и двойной подстановки [latex]uv|_{a}^{b}[/latex].

Если любые два выражения из трех в равенстве имеют смысл, то и третье выражение тоже имеет смысл.

Доказательство

Возьмем [latex]x_0[/latex] такое, что [latex]a < x_0 < b[/latex] проинтегрируем данный интеграл по частям на промежутке [latex][a, x_0][/latex]:

$$\int\limits_{a}^{x_0}udv=(u(x_0)v(x_0)-u(a)v(a))-\int\limits_{a}^{x_0}vdu$$

Пусть теперь [latex]x_0[/latex] стремится к [latex]b[/latex]. По условию два из входящих в данное равенство выражений имеют конечные пределы при [latex]x \to x_0[/latex]. Следовательно третье выражение также имеет конечный предел. Равенство доказано с помощью предельного перехода.

Спойлер

$$\int\limits_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx=-\int\limits_{0}^{+\infty}xd(e^{-x})=-[xe^{-x}|_{0}^{+\infty}-\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}dx]=
-[\lim_{x \to +\infty}xe^{-x}-0-(-e^{-x})|_{0}^{+\infty}]=1$$

[свернуть]

Литература

Тест : Интегрирование по частям

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям: 1 комментарий

  1. — В Ваших статьях практически нет разметки. Даже список литературы у Вас не оформлен как список. Это не приемлемо.
    — На все статьи должен быть хоть один рисунок.
    — Если формула в тексте или тестах занимает отдельную строку, то подстрочные и надстрочные записи в интегралах, суммах и пределах не нужно вытягивать в линию, а нужно писать именно под и над знаками.
    — Функции в laTex кодируются так \sin \cos. Если этого не делать, то функция и аргумент сливается в не читаемое слово. Исправьте везде (особенно в тестах) для всех функция, включая логарифмы.

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *