Линейность несобственных интегралов

Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывнына промежутке [a,b), где b может быть и +\infty. Если интегралы $\int_{a}^{b}f(x)dx$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ то для всех \alpha, \beta \in R, тогда интеграл $\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))$ -сходится и имеет место равенство:

$$\int\limits_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha\int\limits_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int\limits_{a}^{b}g(x)dx$$

Доказательство

Доказательство следует из линейности собственного интеграла Римана. Действительно, для \varepsilon < b имеем

$$\int\limits_{a}^{\varepsilon}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha\int\limits_{a}^{\varepsilon}f(x)dx+\beta\int\limits_{a}^{\varepsilon}g(x)dx$$

и, переходя к пределу при \varepsilon \to b (\varepsilon < b) и учитывая то, что приделы существуют по условию, получаем искомое равенство.

Замечание

Если интеграл $\int_{a}^{b}f(x)$ расходится, а интеграл $\int_{a}^{b}g(x)dx$ сходится, то интеграл $\int_{a}^{b}(f(x) + g(x))$ расходится. Если бы интеграл от $ f + g$ сходился, то сходился бы и интеграл от $f = (f + g) — g$, что неверно.

Литература

Тест : Линейность несобственных интегралов

Тест на знание темы «Линейность несобственных интегралов»

Линейность несобственных интегралов: 1 комментарий

  1. По объёму у меня получилось больше замечаний, чем у Вас текста. Пришлось некоторые замечания указать в других Ваших работах. Собственно, ошибки везде повторяются

    1. В Ваших статьях практически нет разметки. Даже список литературы у Вас не оформлен как список. Это не приемлемо.
    2. Ссылка на этот текст со страницы матанализа не работает.
    3. Конспект не Зои Михайловны, а Ваш. А вот лекции её.
    4. Если ссылаетесь на Виноградова, то давайте ссылку, по которой с ним можно ознакомиться.
    5. Ссылки на рекомендованные учебники (страницы в них) обязательны.
    6. Если формула занимает отдельную строку, то пределы интегрирования пишут над и под знаком интеграла, а не сбоку:
      $$\int\limits_{a}^{b}{f\left(x \right)dx}$$
    7. — На все статьи должен быть хоть один рисунок.
    8. Я не понимаю, о чем Вы спрашиваете в тесте «К какому множеству принадлежат α и β?»

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *