Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Пусть функция f(x) определена в промежутке [a,+ \infty), т.е. для x \geq a, и интегрируема в любой конечной его части [a,A], так что интеграл \int_{a}^{A}f(x)dx имеет смысл при любых A\geq a.

Предел этого интеграла (конечный или бесконечный) при A \to +\infty называют интегралом функции f(x) от a до +\infty и обозначают символом $$\int\limits_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A}f(x)dx(1)$$

В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл (1) сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой в бесконечном промежутке [a,+ \infty). Если же предел (1) бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится. В отличие от собственного интеграла, этот интеграл называются несобственным.

Пример 1 показать

Пример 2 показать

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом определяется интеграл в пределах от -\infty до $b:$ $$\int\limits_{-\infty}^{b}f(x)dx = \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b}f(x)dx$$

Пример 3 показать

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Тест на знание темы «Несобственный интеграл на неограниченном промежутке»

Литература:

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке: 2 комментария

  1. — Если формула занимает отдельную строку, то пределы интегрирования нужно ставить над и под знаком интеграла.
    — Ни в одной Вашей статье нет рисунков
    — Что это за ссылка на учебник — «—- стр.76»?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *