Определение дифференцируемой функции

Дифференцируемость функции нескольких переменных
Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемой функции в одномерном случае, то ознакомьтесь со статьей «Дифференцируемые функции и дифференциал».

Пусть действительная функция нескольких переменных f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^m(f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R) определена в некоторой окрестности точки x\in R^n и \Delta x=(\Delta x_{1}\dots\Delta x_{n}) — такой вектор независимых переменных, что точка x+\Delta x тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полное приращение функции f

\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),

соответствующее приращение \Delta x переменных в точке x. Напомним, что

||\Delta x||=\sqrt{(\Delta x_{1})^2+\dots +(\Delta x_{n})^2}.

Определение. Функцию f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R, определенную в некоторой окрестности точки x, называют дифференцируемой в точке x, если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде

\Delta f(x)=a_{1}\Delta x_{1}+a_{2}\Delta x_{2}+\dots +a_{n}\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|, \ \ \ (1)

где коэффициенты a_{1},a_{2},\dots ,a_{n} не зависят от приращений \Delta x, а функция \alpha(\Delta x) является бесконечно малой при \Delta x\rightarrow 0.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция нескольких переменных дифференцируема в точке x, то у этой функции в точке x существуют все частные производные f_{x_{i}}^{\prime}(x), i=\overline{1,n} , причем коэффициенты a_{i} в представлении (1) равны значениям соответствующих частных производных в точке x:

a_{i}=f_{x_{i}}^{\prime}(x), i=\overline{1,n}.

Доказательство
Для дифференцируемой в точке x функции f представление (1) верно для любого приращения \Delta x имеет вид

\Delta x=(0,\dots, 0 ,\Delta x_{i}, 0,\dots, 0), \Delta x_{i}\neq0,
где номер i выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае ||\Delta x||=|\Delta x_{i}|, соответствующее полное \Delta f(x) функции f(x) сводится к ее i-му частному приращению \Delta_{i}f(x), а равенство (1) принимает вид

\Delta f(x)=\Delta_{i}f(x)=a_{i}\Delta x_{i}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|.

Разделив последнее равенство на \Delta x_{i} и перейдя к пределу при \Delta x_{i}\rightarrow 0, получим

\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{\frac{\Delta_{i}f(x)}{\Delta x_{i}}}=a_{i}+\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)\frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}})}=a_{i},

поскольку функция \alpha(\Delta x) бесконечно малая при \Delta x_{i}\rightarrow 0, а отношение \frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}}=\pm 1 ограничено, так что последний предел равен нулю. Следовательно, производная f_{x_{i}}^{\prime}(x) в точке  x существует и равна a_{i}.
Следствие. Если функция нескольких переменных f:R^n\rightarrow R дифференцируема в точке x, то ее полное приращение \Delta f(x) можно представить в виде

\Delta f(x)=f_{x_{1}}^{\prime}(x)\Delta x_{i}+\dots +f_{x_{n}}^{\prime}(x)\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|,

где при \alpha(\Delta x)\rightarrow 0 \Delta x\rightarrow 0.

Литература

Тест: Определение дифференцируемой функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал


Таблица лучших: Тест: Определение дифференцируемой функции

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение дифференцируемой функции: 2 комментария

  1. — У вас три статья, а не одна. Посмотрите здесь — http://ib.mazurok.com/matan/
    — Функции кодируют так \sin x, а не sinx
    — В этом тесте «Если функция дифференцируема в точке, то она…» только часть формул набрана в laTeX. Почему? И вообще, это очень неоднозначный вопрос.
    — «Можно ли утверждать, что из непрерывности функции в точке следует дифференцируемость функции в точке?» Можно выбрать и да и нет одновременно. Странно. Вообще все тесты не продуманы.
    — Рисунков нет
    — «Обратно, очевидно, не верно…» странный текст. Что-то тут не так.
    — «Методическое пособие по математическому анализу по теме:»Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. » — разберитесь с кавычками. Если Вы хотите сослаться на книгу, то посмотрите тут, как это делается. И обязательно дайте ссылку в сети, где Вы отыскали сканированный текст данной книги.
    — Ссылки на рекомендованные учебники обязательны. Сканированные тексты рекомендованных учебников можно найти по ссылкам справа.
    — «пе- ременных. «

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *