Формулы Ньютона-Лейбница

Если существует функция F(x), непрерывная на отрезке [a,b] и такая, что F(x)=f(x) при a \leq x < b, то для несобственного интеграла $\int_{a}^{b}f(x)dx$ справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

$$ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$$

Если f(x) непрерывна при a \leq x < b и имеет точку разрыва x=a, тогда:

$$ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b)-F(a+\varepsilon)]$$

Если подынтегральная функция не ограничена в отрезке интегрирования ( например x = c ), то эту точку «вырезают», а интеграл $ \int_{a}^{b}f(x)dx$ определяют в предположении, что F(x) — первообразная для f(x), так:

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{c -\varepsilon}f(x)dx + \lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{a}^{c -\varepsilon} + $$
$$ + \lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{c+\varepsilon}^{b}=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c — \varepsilon)-F(a) + F(b) — \lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c+\varepsilon)$$

Если пределы существуют и конечны, то интеграл $\int_{a}^{b}f(x)dx$ называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Литература

Тест : Формулы Ньютона-Лейбница

Тест на знание темы «Формулы Ньютона-Лейбница»

Формулы Ньютона-Лейбница: 1 комментарий

  1. — В Ваших статьях практически нет разметки. Даже список литературы у Вас не оформлен как список. Это не приемлемо.
    — На все статьи должен быть хоть один рисунок.
    — Если формула в тексте или тестах занимает отдельную строку, то подстрочные и надстрочные записи в интегралах, суммах и пределах не нужно вытягивать в линию, а нужно писать именно под и над знаками.
    — Если ссылаетесь на Виноградова, то давайте ссылку, по которой с ним можно ознакомиться. Но ссылки на рекомендованные учебники обязательны.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *