Пусть функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] определены и непрерывнына промежутке [latex][a,b)[/latex], где [latex]b[/latex] может быть и [latex]+\infty[/latex]. Если интегралы $\int_{a}^{b}f(x)dx$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ то для всех [latex]\alpha, \beta \in R[/latex], тогда интеграл $\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))$ -сходится и имеет место равенство:
Доказательство
Доказательство следует из линейности собственного интеграла Римана. Действительно, для [latex]\varepsilon < b[/latex] имеем
и, переходя к пределу при [latex]\varepsilon \to b (\varepsilon < b)[/latex] и учитывая то, что приделы существуют по условию, получаем искомое равенство.
Замечание
Если интеграл $\int_{a}^{b}f(x)$ расходится, а интеграл $\int_{a}^{b}g(x)dx$ сходится, то интеграл $\int_{a}^{b}(f(x) + g(x))$ расходится. Если бы интеграл от $ f + g$ сходился, то сходился бы и интеграл от $f = (f + g) — g$, что неверно.
Литература
- Конспект лекций по мат. анализу Лысенко З. М.
- Виноградов О. Л. «Курс Математического анализа» том 2 2010, ст. 52
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. ст 82
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. ст. 364
Тест : Линейность несобственных интегралов
Навигация (только номера заданий)
0 из 4 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
Информация
Тест на знание темы «Линейность несобственных интегралов»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 4
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- Нет рубрики 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 4
1.
Пусть функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] ________ и __________ на промежутке [latex][a,b)[/latex], где [latex]b[/latex] может быть и [latex]+\infty[/latex].
- 1) (определены) 2) (непрерывны)
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 4
2.
При каких условиях интеграл $\int_{a}^{b}(f(x) + g(x))$ расходится?
Правильно
Неправильно
-
Задание 3 из 4
3.
Расставить в правильном порядке выражения и знаки из равенства (Верх-начало)
-
$\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))$
-
$=$
-
$\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx$
-
$+$
-
$\alpha\int_{a}^{b}g(x)dx$
Правильно
Неправильно
-
-
Задание 4 из 4
4.
На каком промежутке непрерывны и определены функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex]?
Правильно
Неправильно
По объёму у меня получилось больше замечаний, чем у Вас текста. Пришлось некоторые замечания указать в других Ваших работах. Собственно, ошибки везде повторяются
$$\int\limits_{a}^{b}{f\left(x \right)dx}$$