Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Теорема (признак Дирихле)

Пусть:

  • функция [latex]f[/latex] непрерывна и имеет ограниченную первообразную [latex]F[/latex] при [latex]x\in[a;+\infty)[/latex];
  • функция [latex]g[/latex] непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале [latex][a;+\infty)[/latex];
  • [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0.[/latex]

Тогда интеграл [latex]I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

Спойлер

Покажем, что функция [latex]fg[/latex] удовлетворяет условию Коши на промежутке [latex][a,+\infty)[/latex]. Проинтегрируем эту функцию по частям:

[latex]\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|_{\xi’}^{\xi»}-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx,[/latex]

где [latex]\xi’,\xi»>a[/latex].
По первому условию теоремы можно утверждать, что:

[latex]\begin{vmatrix}\left.\begin{matrix}(Fg)\end{matrix}\right|_{\xi’}^{\xi»}\end{vmatrix}\leq[/latex][latex]M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|[/latex]
[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx\end{vmatrix}\leq[/latex][latex]M\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}.[/latex]

Обратим внимание на то, что при [latex]g'(x)\leq0[/latex] выполняется [latex]|g'(x)|=-g'(x)[/latex], и при [latex]g'(x)\geq0[/latex] выполняется [latex]|g'(x)|=g'(x)[/latex]. Рассмотрим эти два случая:

  • [latex]I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi’)-g(\xi»);[/latex]
  • [latex]I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi»)-g(\xi’).[/latex]

Получается, что

[latex]|I_{1}|=\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}\leq(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|).[/latex]

Тогда:

[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|)[/latex](*)

Поскольку [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0[/latex], то

 [latex]\forall\varepsilon>0\exists\delta_{\varepsilon}>0:\forall[/latex][latex]x\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)\rightarrow|g(x)|<\frac{\varepsilon}{4M}[/latex]

Для [latex]\xi’,\xi»\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)[/latex] из неравенства (*) и предыдущего условия следует, что

[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(\frac{\varepsilon}{4M}+\frac{\varepsilon}{4M})=\varepsilon.[/latex]

Получили, что функция [latex]fg[/latex] удовлетворяет условию Коши, и по критерию Коши сходимости интегралов [latex]I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

[свернуть]

Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.

Теорема (признак Абеля)

Если на полуоси [latex][a,+\infty)[/latex]:

  • функция [latex]f[/latex] непрерывна и интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex] сходится;
  • функция [latex]g[/latex] непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,

то интеграл [latex]\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

Спойлер

Заметим, что интегралы [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] и [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[-g(x)]dx[/latex] имеют одинаковый характер сходимости. Также, в силу монотонности функции [latex]g[/latex], одна из функций [latex]g[/latex] или [latex]-g[/latex] убывает.
Предположим, что убывает функция [latex]g[/latex]. Поскольку эта функция ограничена и монотонна, то существует конечный предел [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=c[/latex]. Так как функция [latex]g[/latex] убывает, то при [latex]x[/latex] стремящемся к [latex]+\infty[/latex] разность [latex]g(x)-c[/latex] тоже стремится к нулю.
Перепишем произведение функций [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] в следующем виде:

[latex]f(x)g(x)=f(x)[g(x)-c]+cf(x).[/latex]

В силу сходимости интеграла [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex], интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}cf(x)dx[/latex] сходится. Из этого же условия следует, что интеграл [latex]F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt[/latex] ограничен. Действительно, из существования конечного предела [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex] следует ограниченность функции [latex]F[/latex] в окрестности [latex]U(+\infty)=\left\{x:x>b\right\}[/latex] бесконечно удалённой точки [latex]+\infty[/latex]. Из непрерывности функции [latex]F[/latex] на сегменте [latex][a,b][/latex] следует её ограниченность. Получили, что [latex]F[/latex] ограничена на полуинтервале [latex][a,+\infty)[/latex]. Поскольку первообразная функции [latex]f[/latex] это [latex]F[/latex], то [latex]f[/latex] имеет ограниченную первообразную на [latex][a,+\infty)[/latex].
Для интеграла [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx[/latex] выполнены все условия признака Дирихле, следовательно этот интеграл сходится. В силу сходимости [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx[/latex], интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится, что и требовалось доказать.

[свернуть]

Примеры

Рассмотрим интеграл [latex]\int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx[/latex]. Исследуем его на сходимость.

Спойлер

Представим наш интеграл в виде суммы двух интегралов [latex]\int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}[/latex] и исследуем последний на сходимость. Запишем подынтегральное выражение в следующем виде:

[latex]\sin(x^2)=(x\sin(x^2))(\frac{1}{x}).[/latex]

[latex]f(x)=x\sin(x^2)[/latex], [latex]g(x)=\frac{1}{x}[/latex]. Пусть

[latex]F(x)=\int_{1}^{x}t\sin(t^2)dt,[/latex]

и применим подстановку [latex]z=t^2[/latex]. Тогда

[latex]\forall{x}:F(x)=\frac{\cos(1)-\cos(x^2)}{2},|F(x)|\leq1.[/latex]

Функция [latex]g(x)\rightarrow0(x\rightarrow+\infty),g'(x)<0[/latex], а значит интеграл сходится по признаку Дирихле.

[свернуть]

Теперь рассмотрим интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}\cdot\;arctg{x}}{x^p}[/latex]. Проверим его на сходимость.

Спойлер

Пусть [latex]f(x)=\frac{\sin{x}}{x^p}[/latex], [latex]g(x)=arctg(x)[/latex]. Интеграл [latex]\int_{1}^{\infty}f(x)dx[/latex] сходится по признаку Дирихле, т.к. интегралы [latex]\begin{vmatrix}\int_{1}^{x}\sin(t)dt\end{vmatrix}\leq2[/latex], а [latex]\frac{1}{x^p}[/latex] монотонно стремится к [latex]0[/latex]. Функция [latex]g(x)\rightarrow\frac{\pi}{2}(x\rightarrow+\infty),g'(x)>0[/latex]. По признаку Абеля интеграл сходится.

[свернуть]

Литература
  1. А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин, «Курс математического анализа», физмат-лит, 2001, стр. 377-380
  2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа», том №1, Высшая школа, 1988-1989, стр. 672-676
  3. Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том №2, стр. 564-565
  4. Конспект З.М. Лысенко
Тесты

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов: 1 комментарий

  1. — Если формула занимает отдельную строку, то пределы интегрирования нужно ставить над и под знаком интеграла. И в тексте и в тестах.
    — Рисунков не обнаружил, а они обязательны.
    — Точка в названии
    — Вы видите, что в тестах с открытым ответом формулы не отображаются? Не используйте открытый ответ для вопросов, где формулы обязательны.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *