Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда, вторая теорема Абеля

Теорема 1

Пусть дан степенной ряд

\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\quad (1)
радиус сходимости которого R > 0. Тогда для любого r, такого, что
0 < r < R, ряд (1) равномерно сходится на \left [ -r,r \right ].

Доказательство

В каждой точке, лежащей внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится абсолютно. Тогда возьмем вместо x число r, такое что выполняется условие: 0\leq r\leq R.
Тогда сходится числовой ряд \sum\limits_{n=0}^{\infty}\mid a_{n}\mid r^{n}. Поэтому, в силу признака Вейерштрасса, из неравенства \mid a_{n}x^{n}\mid\leq\mid a_{n}\mid r^{n}\left ( \mid x\mid\leq r \right ) заключаем, что
ряд (1) сходится равномерно на \left [ -r,r \right ].

Теорема 2

Сумма степенного ряда (1) с радиусом сходимости
R > 0 является непрерывной функцией на интервале сходимости \left ( -R, R \right ).

Доказательство

Согласно предыдущей теореме, ряд (1) равномерно сходится на \left [ -r,r \right ] \subset \left ( -R, R \right ), однако про весь интервал это точно утверждать нельзя, так как на интервале \left ( -R, R \right ) ряд (1) может сходиться и неравномерно. Пусть x_{0}\in\left ( -R, R \right ). Выберем такое r, что x_{0}<r<R. Так как x_{0} – внутренняя точка отрезка \left [ -r,r \right ] и на \left [ -r,r \right ] ряд (1) сходится равномерно, то, по теореме о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, сумма ряда (1) является непрерывной функцией на \left [ -r,r \right ], включая точку x_{0}.
Поскольку точкуx_{0}\in\left ( -R, R \right ) мы взяли произвольную, то сумма ряда (1) непрерывна на интервале \left ( -R, R \right ).

Теорема 3

Если степенной ряд (1) с радиусом сходимости R>0
расходится в точке x = R или x=-R, то он не является равномерно сходящимся на \left ( -R, R \right ).

Доказательство

Пусть ряд (1) расходится при x=R. В случае, если
бы ряд  (1) на \left ( -R, R \right ) сходился равномерно, то, согласно теореме о почленном переходе к пределу, мы получили бы, что сходится ряд из
пределов

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\lim\limits_{x\rightarrow R-0}a_{n}x^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n},
однако это противоречит предположению. Теорема доказана.

 

Рисунок показать

Вторая теорема Абеля

Если R – радиус сходимости ряда \sum\limits{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} и это ряд сходится  при z=R, то он сходится равномерно на от отрезке \left [ 0;R \right ] действительной оси.

Доказательство

Пусть x не превышает радиуса сходимости ряда. То есть:0\leq x\leq R. Заменим переменную x на R и получим из ряда \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x_{n} ряд, имеющий вид: \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R_{n}\left ( \frac{x}{R} \right )^{n}. Видим, что полученный ряд \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n} не зависит от переменной x, тогда его сходимость означает и равномерную сходимость. Очевидно, что последовательность { \left ( \frac{x}{R} \right )^{n}} ограничена на отрезке \left [ 0;R \right ], ее члены неотрицательны: 0\leq\left ( \frac{x}{R} \right )^{n}\leq 1. Эта последовательность убывает в каждой точке (при x=R\quad она не строго убывает, точнее, является стационарной). Значит выполняются условия признака Абеля равномерной сходимости рядов. То есть ряд \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} равномерно сходится на отрезке \left [ 0;R \right ].

Источники:

Тест для закрепления материала.

Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда, вторая теорема Абеля: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *