M2044. О четном числе корней многочлена

Пусть $f(x)$— некоторый многочлен ненулевой степени. Может ли оказаться, что уравнение $f(x)=a$ при любом значении a имеет четное число решений?
Ответ: не может.
Покажем, что в любом случае найдется такое а, что уравнение $f(x)=a$ имеет нечетное число решений. Пусть $t_1,t_2,…,t_k$— точки, в которой меняется знак производной $f'(x)=a$ (таких точек конечное количество, так как все они — корни $f'(x)=a$). Таким образом, на каждом из интервалов $(-\infty,t_1),(t_1,t_2),…,(t_k,+\infty)$ функция $f(x)$ монотонна, и в точках $t_1,t_2,…,t_k$ происходит смена интервала возрастания на интервал убывания или наоборот.
Пусть степень многочлена $f(x)$ нечетна. Учитывая, что $\lim\limits_{x_\to+\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x_\to-\infty}f(x)$— бесконечности разных знаков, получаем, что при любом а уравнение $f(x)-a=0$ имеет нечетное количество корней, в которых функция $f(x)-a$ меняет знак. Достаточно выбрать а отличное от $f(t_1),f(t_2),…,f(t_k)$, тогда уравнение $f(x)-a=0$ не имеет других корней(т.е. корней, в которых $f(x)-a$ сохраняет знак). Случай нечетной степени многочлена $f(x)$ можно разобрать и по-другому, заметив, что при достаточно большом а уравнение $f(x)=a$ имеет ровно одно решение.

Рис. 1.
Рис. 1.

Пусть степень многочлена $f(x)$ четна. Учитывая, что $\lim\limits_{x_\to+\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x_\to-\infty}f(x)$— бесконечности одного знака, получаем, что при любом а уравнение $f(x)-a=0$ имеет четное количество корней, в которых функция $f(x)-a$ меняет знак. Поскольку $f'(x)=a$ многочлен нечетной степени, то $f'(x)=a$ меняет знак в нечетном числе точек, т.е. k нечетно. Отсюда следует, что найдется такое a, что в наборе $f(t_1),f(t_2),…,f(t_k)$ нечетное количество чисел, равных a. Для найденного значения a уравнение $f(x)=a$ имеет нечетное число решений— четное количество, в которых функция $f(x)-a$ меняет знак, и нечетное количество, в которых функция $f(x)-a$ не меняет знак(см. рисунок).

П.Кожевников

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *