M1568. Сечение пирамиды

Задача из журнала «Квант» (1996, №5, M1568)

Условие

Докажите что при n\ge 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.

Решение

Пусть правильный (n+1) –угольник { B }_{ 1 }...{ B }_{ n } является сечением пирамиды S{ A }_{ 1 }...{ A }_{ n } где { A }_{ 1 }...{ A }_{ n } – правильный n-угольник. Мы рассмотрим три случая: n=5 , n=2k-1 (k>3)  и n=2k (k>2)
Так как n-угольная пирамида имеет (n+1) грань, то стороны сечения находятся по одной в каждой грани пирамиды. Поэтому без ограничения общности рассуждений можно считать, что точки { B }_{ 1 }...{ B }_{ n+1 } расположены на ребрах пирамиды так, как показано на рисунках 1 и 2 ( в соответствии с указанными случаями).

  1.  n=5 . Так как в правильном шестиугольнике { B }_{ 1 }...{ B }_{ 6 } прямые { B }_{ 2 }{ B }_{ 3 }, { B }_{ 5 }{ B }_{ 6 } и { B }_{ 1 }{ B }_{ 4 } параллельны, а плоскости  { A }_{ 2 }S{ A }_{ 3 } и ASA проходят через { B }_{ 2 }{ B }_{ 3 } и { B }_{ 5 }{ B }_{ 6 }  то их линия пересечения { ST ( T= { A }_{ 1 }{ A }_{ 5 } }\bigcap { A } _{ 2 }{ A }_{ 3 } ) параллельна этим прямым т.е. ST\parallel { B }_{ 1 }{ B }_{ 4 } Проведем через прямые ST  и { B }_{ 1 }{ B }_{ 4 } плоскость. Эта плоскость пересечет плоскость основания пирамиды по прямой { B }_{ 1 }{ A }_{ 4 } которая должна проходить через точку пересечения прямой ST с плоскостью основания т.е. через точку T. Итак, прямые { A }_{ 1 }{ A }_{ 5 }, { A }_{ 4 }{ B }_{ 1 } и { A }_{ 2 }{ A }_{ 3 } пересекаются в одной точке.Аналогично доказывается, что прямые { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }, { A }_{ 3 }{ B }_{ 6 } и { A }_{ 4 }{ A }_{ 5 }  и пересекаются в одной точке. Из этого следует что { A }_{ 4 }{ B }_{ 1 } и { A }_{ 3 }{ B }_{ 6 }  – оси симметрии правильного пятиугольника { A }_{ 1 }...{ A }_{ 5 } , значит. Точка O их пересечения – центр этого пятиугольника. Заметим теперь, что если Q – центр правильного шестиугольника { B }_{ 1 }...{ B }_{ 6 } , то плоскости  S{ A }_{ 3 }{ B }_{ 6 }, S{ A }_{ 4 }{ B }_{ 1 } и S{ B }_{ 2 }{ B }_{ 5 } пересекаются по прямой SQ. Следовательно прямые  { A }_{ 3 }{ B }_{ 6 },{ A }_{ 4 }{ B }_{ 1 } и { A }_{ 2 }{ A }_{ 5 }  должны пересекаться в одной точке – точке пересечения прямой SQ с плоскостью основания пирамиды.Значит диагональ правильного пятиугольника { A }_{ 1 }...{ A }_{ 5 } должна проходить через его центр O, что невозможно.
  2. 4

  3.   n=2k-1 (k>3) Аналогично первому случаю показывается, что так как в правильном 2k-угольнике  { B }_{ 1 }...{ B }_{ 2k } прямые   { B }_{ 1 }{ B }_{ 2 },{ B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 } и { B }_{ k }{ B }_{ k+3 }параллельны, то  прямые   { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 } и { A }_{ k }{ A }_{ k+3 } должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как в правильном (2k-1)-угольнике { A }_{ 1 }...{ A }_{ 2k-1 } имеем { A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }\parallel { A }_{ k }{ A }_{ k+3 }, а прямые { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 } не параллельны.
  4.  n=2k (k>2) Аналогично предыдущему случаю прямые  { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 } и { A }_{ k }{ A }_{ k+3 }  параллельны, следовательно, прямые  { B }_{ 1 }{ B }_{ 2 },{ B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 } и { B }_{ k }{ B }_{ k+3 } должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как { B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 }\parallel { B }_{ k }{ B }_{ k+3 }, а прямые { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }, { A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }  не параллельны.

Замечания

  1.  При n=3,4 утверждение задачи неверно. Примерами могут служить правильный тетраэдр имеющий сечением квадрат и правильная четырехугольная  пирамида, все боковые грани которой являются правильными треугольниками, которая имеет сечением правильный пятиугольник
  2. Приведенное решение можно было бы изложить короче, если воспользоваться центральным проектированием и его свойством утверждающим, что при центральном проектировании образами прямых, проходящих через одну точку, являются прямые, проходящие через одну точку ( или параллельные). Достаточно спроектировать сечение пирамиды на плоскость из вершины пирамиды.

Д. Терешин.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *