Достаточные условия экстремума

Экстремумы функций одной переменной

Определение:

Функция f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, имеет во внутренней точке x_{0}:

  • Локальный минимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\ge f(x_{ 0 })
  • Строгий локальный минимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) > f(x_{ 0 })
  • Локальный максимум если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\le f(x_{ 0 })
  • Строгий локальный максимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) < f(x_{ 0 })

Поиск локальных и абсолютных экстремумов — важная практическая задача, породившая широкий спектр методов оптимизации. Изучение свойств и условий существования локального экстремума функций в одномерном случае создает прочный фундамент, упрощающий изучение аналогичного материала в анализе функций многих переменных.


Достаточные условия экстремума в терминах первой производной

Пусть функция f:\mathbb{E}  \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} непрерывна в точке x_{0} и дифференцируема в её проколотой окрестности \dot {U}(x_{0}) . Пусть \dot {U}^{-}(x_{0}) = \{x \in U(x_{0})| x < x_{0} \} и \dot {U}^{-}(x_{0}) = \{x \in U(x_{0})| x < x_{0} \}. В введенных обозначениях справедливы заключения:

  1. (\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{'}(x)< 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{'}(x)< 0))\Rightarrow (f в x_{0} экстремума не имеет)
  2. (\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{'}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{'}(x)< 0))\Rightarrow (x_{0} — точка строгого локального минимума)
  3. (\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{'}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{'}(x)< 0))\Rightarrow (x_{0} — точка строгого локального максимума)
  4. (\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{'}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{'}(x) > 0))\Rightarrow (f в x_{0} экстремума не имеет)

Резюмируя, изменение знака первой производной при переходе через точку — признак наличия в ней локального экстремума.

Доказательство показать

Замечание

Условия не является необходимыми.

Контрпример показать

Достаточные условия экстремума в терминах старших производных

Пусть функция f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} имеет в точке x_{0} производные до n-го порядка включительно. Если (f^{'}(x_{0}) = ... = f^{n-1}(x_{0}) = 0) \wedge f^{n}(x_{0}) \ne 0, то при нечётном n в x_{0} экстремума нет, а при чётном n — есть, причем, при f^{n}(x_{0}) > 0 это строгий локальный минимум, а при f^{n}(x_{0}) < 0 — строгий локальный максимум.

Доказательство показать

Аппарат дифференциального исчисления позволяет свести многие нетривиальные оптимизационные задачи к алгоритмическому решению. Использование достаточных критериев экстремума в терминах производных может приводить к более громоздким, но алгоритмически очевидным решениям, уступая частному подходу к физическим, геометрическим и подобных им задачам в изяществе, но не в эффективности.

Пример: Закон Снеллиуса показать

Источники:

Достаточные условия экстремума

Закрепление материала.

Таблица лучших: Достаточные условия экстремума

максимум из 19 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Достаточные условия экстремума: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *