Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора

Если функция $f$ имеет производные всех порядков на промежутке $(x_{0}-R, x_{0}+R)$ и все эти производные ограничены в совокупности, т.е. существует такое число $L>0$, что для всех $x\in(x_{0}-R, x_{0}+R)$ и всех $n=0,1,2,…$ выполняется:

$\left|f^{(n)}(x)\right|\leq L$,

(где $L$ не зависит от $n$), то функция $f$ представляется рядом Тейлора:

f(x)=f(x_{0})+\frac{f^{'}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f^{''}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+..., $\left|x-x_{0}\right|\leq R$

Доказательство:

Каким бы не было число $a$,

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0$

Пусть $n_{0}$ такое , что $\frac{\left|a\right|}{n_{0}}<\frac{1}{2}$. Тогда при всех $n\geq n_{0}$ $\frac{\left|a\right|}{n}<\frac{1}{2}$, и поэтому

$\frac{a^{n}}{n!}=\frac{a^{n_{0}}}{n_{0}!}\frac{a}{n_{0}+1}\cdot\frac{a}{n_{0}+2}…\frac{a}{n}<\frac{a^{n_{0}}}{n_{0}!}(\frac{1}{2})^{n-n_{0}}$,

где правая часть неравенства стремится к нулю при $n\rightarrow\infty$, откуда и следует, что $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0$. Это равенство следует и из того что, выражение $\frac{a^{n}}{n!}$ является общим членом сходящегося ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a^{n}}{n!}}$. Для того чтобы доказать формулу $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}}$, достаточно убедится, что

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_{n}(x)=0$,

где $r_{n}(x)$ — остаточный член в формуле Тейлора функции $f$. Возьмем $r_{n}(x)$ в форме Лагранжа ($r_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$). Из $\left|f^{(n)}(x)\right|\leq L$ следует, что

$\left|r_{n}(x)\right|=\left|\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\right|\leq L\frac{\left|x-x_{0}\right|^{n+1}}{(n+1)!}$,

где $\left|\xi-x_{0}\right|<\left|x-x_{0}\right|<R$. Поскольку в силу $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0$

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\left|x-x_{0}\right|^{n+1}}{(n+1)!}=0$,

то при $\left|x-x_{0}\right|<R$ выполняется условие $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_{n}(x)=0$, что и требовалось доказать.

Тест:

Тест на тему: «Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора».

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *