Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Теорема 1 (Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани)

Для того, чтобы последовательность функций f_{n}(x), определенных на множестве E, сходилась равномерно к функции f(x) на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\underset{x\in E}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid=0\quad (1)

Необходимость

Пусть f_{n}\rightrightarrows f на E. Покажем, что \delta_{n}=\underset{x\in E}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\rightarrow 0 при n\rightarrow\infty.
Имеем, что \forall\varepsilon >0 существует такой номер \exists n_{\varepsilon}, что \forall n\geq n_{\varepsilon} и \forall x\in X выполняется неравенство:
\mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}
Тогда \forall n\geq n_{\varepsilon} будем иметь:
\underset{x\in X}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon,
а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия (1).

Достаточность

Пусть справедливо условие (1). Докажем, что последовательность функций f_{n}(x) равномерно сходится к функции f(x).

Используя неравенство \mid f_{n}\left ( x \right )-f\left ( x \right )\mid\leq\delta_{n} для x\in E, n\in N, мы получим, что \mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\varepsilon, для x\in E, n\geq n_{\varepsilon}. А это означает, что f_{n}(x)\rightrightarrows f(x), x\in E.

Рисунок показать

Теорема 2

(Критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Для того чтобы последовательность функций {f_{n}(x)} сходилась равномерно на множестве E необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

\forall\varepsilon >0 \exists n_{\varepsilon}:\forall n\geq N_{\varepsilon}\quad\forall P\in N \forall x\in E\Rightarrow\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid<\varepsilon\quad (2)

Необходимость

Пусть f_{n}(x)\rightrightarrows f(x), x\in E. Следовательно, согласно определению равномерной сходимости можно утверждать, что:

\forall\varepsilon>0 \exists N_{\varepsilon}:\forall k\geq N_{\varepsilon} \forall x\in E\Rightarrow\left | f_{k}\left ( x \right )-f\left ( x \right )\right |< \frac{\varepsilon}{2}\quad(4)

Пусть теперь n\geq N_{\varepsilon}, p\in N.

Тогда:

\mid f_{n}(x)-f(x)\mid <\frac{\varepsilon}{2} и \mid f_{n+p}(x)-f(x)\mid <\frac{\varepsilon}{2}

Теперь, применяя неравенство треугольника, получим что:

\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid =\mid (f_{n+p}(x)-f(x))-(f_{n}(x)-f(x))\mid\leq\mid (f_{n+p}(x)-

f\left ( x \right )\mid+\mid f_{n}\left ( x \right )-f\left ( x \right )\mid<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\quad (5)

Достаточность

Пусть дано, что выполняется условие Коши. Докажем равномерную сходимость последовательности функций.

Какое бы значение x из X не взяли, мы будем иметь числовую последовательность, для которой выполняется условие Коши. Следовательно, для этой последовательности существует конечный предел, что доказывает существование для последовательности предельной функции f\left ( x \right ).
Покажем, что последовательность {f_{n}} сходится равномерно к функции f
на множестве X. Действительно, в силу условия (2), \forall\varepsilon>0 \quad\exists n_{\varepsilon}, что \forall n\geq n_{\varepsilon}, \forall p\geq 0 и \forall x\in X справедливо неравенство

\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}\quad (3)
Заметив, что \lim\limits_{p\rightarrow\infty}f_{n+p}(x)=f(x), перейдем к пределу в неравенстве (3) при  p\rightarrow\infty; тогда \forall n>n_{\varepsilon} и \forall x\in X получим
\mid f(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon,
а это и означает, что f_{n}\rightrightarrows f.

Источники:

Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Тест для закрепления материала.

Таблица лучших: Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши: 1 комментарий

  1. — Меня смущает Ваш текст. Выглядит как бессвязный отрывочный пересказ части двенадцатой главы второго тома Фихтенгольца. Причем без указания его в списке литературы. Надеюсь, преподаватель матанализа разберется, когда Вы будете подписывать у него текст.
    — Нет рисунков.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *