Доказательство

1. Пусть ряд [latex](B)[/latex] сходится и [latex]K< +\infty[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left | \frac{a_{n}}{b_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n}}{b_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Из неравенства получим: [latex]a_{n}<b_{n}(K+\varepsilon )[/latex]. Ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(K+\varepsilon )[/latex] сходится, так как это ряд полученный умножением членов ряда [latex](B)[/latex] на постоянное число [latex]K+\varepsilon[/latex]. Тогда по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex](A)[/latex] сходится.
2. Если ряд [latex](B)[/latex] расходится и [latex]K>0[/latex], тогда отношение [latex]\frac{b_{n}}{a_{n}}[/latex] имеет конечный предел [latex]\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{K}< \infty[/latex]. Предположим что ряд [latex](A)[/latex] сходится, тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд [latex](B)[/latex] тоже сходится, что противоречит условию. Значит [latex](A)[/latex] расходится.