Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемости или непрерывности функции в точке в одномерном случае, то перейдите по ссылкам.

Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное с ее непрерывностью.

Теорема. Если действительная функция нескольких действительных переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Пусть функция f(x) непрерывна в точке a. Тогда ее полное приращение в точке a можно записать в виде

\Delta f(a)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|,

где \alpha(\Delta x)\rightarrow 0 при \Delta x\rightarrow 0. Из этого представления следует, что существует предел

\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta f(a)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta x_{k}}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)|\Delta x|)}=0,

означающий, что функция f(x) непрерывна в точке a.

Литература

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Предлагаем проверить свои знания


Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке: 2 комментария

  1. — номера страниц в списке литературы
    — список литературы оформлен неудачно, а в части «Линейная алгебра и функции многих переменных» просто ошибочно
    — тангенс и арктангенс в тестах заведены не как функции

  2. Так «Учебное пособие по дисциплине «Функции многих переменных» cтр. 22-24» ссылки не офомляются. Загляните в любую книгу — автор, название, издательство, год, страницы.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *