Дифференциал в пространстве $\mathbb R^n$

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференциала в одномерном случае, то ознакомьтесь с этой статьей.

Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал dU функции от многих переменных — это функция тех же переменных, и можно определить полный дифференциал этой функции. Таким образом, получим дифференциал второго порядка d^2U изначальной функции U, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет к дифференциалу третьего порядка d^3U изначальной функции и т.д.

Теперь рассмотрим функцию U=f(x,y) двух переменных x и y и предположим, что переменные x и y  независимые переменные. По определению

dU=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y.

При вычислении d^2U обратим внимание, что дифференциалы dx и dy независимых переменных следует рассматривать только как постоянные величины, значит их можно выносить за знак дифференциала

d^2U=\partial[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x]+\partial [\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y]=\partial x\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\partial y\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\partial x[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x +  + \frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x \partial y}\partial y]+\partial y[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}]=\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x^2+2\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x \partial y+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}\partial y^2.

Вычисляя аналогичным образом d^3U, получим

d^3U=\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^3}\partial x^3+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^2 dy}\partial x^2 \partial y+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x \partial y^2}\partial x \partial y^2+\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial y^3}\partial y^3.

Эти выражения d^2U и d^3U приводят к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:

d^nU=(\frac{\partial }{\partial x}\partial x+\frac{\partial }{\partial y}\partial y),

причем формулу следует понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, нужно возвести в степень n, применяя бином Ньютона, после чего показатели степеней y \frac{\partial }{\partial x} и \frac{\partial }{\partial y} будем считать указателями порядка производных по x и y от функции f.

Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных
Пусть функция z=f(x,y) имеет в точке P_{0}(x_{0},y_{0}) дифференциал

dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{o})\Delta y,(*)

или

dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}). (**)

Рассмотрим уравнение касательной плоскости

Z-z_{0}=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).

Видим, что правая часть этого уравнения совпадает с правой частью уравнения (*) для дифференциала dx.
1234
Левые части этих равенств равны, но в равенстве (*) левая часть и есть дифференциал функции z=f(x,y) в точке P_{0}(x_{0},y_{0}), а в уравнении (**) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.

Вывод: геометрический смысл дифференциала функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости.
Правила дифференцировaния
d(U+V)=dU+dV
d(UV)=UdV+VdU
d\frac{U}{V}=\frac{VdU-UdV}{V^2}, \ \ V\neq0

Литература

Тест на тему: Дифференциал

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал


Таблица лучших: Тест на тему: Дифференциал

максимум из 12 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференциал в пространстве $\mathbb R^n$: 1 комментарий

  1. — Укажите страницы в списке литературы.
    — Не нужно разделять литературу на рекомендованную и использованную. Просто «Литература».
    — Большая часть тестов относится к функциям одной переменной. Это здесь неуместно. Исправьте.
    — Синус и косинус кодируется так — \sin \cos
    — Сделайте ссылки на другие разделы сайта.
    — Уточните в названии, что речь идет о Rn.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *