Критерий дифференцируемости функции

Определение

Функция f(x)=f(x_{1},...,x_{n}) называется дифференцируемой в точке x^{0}=(x^{0}_{1},...,x^{0}_{n}), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа A_{1},...,A_{n}, что при x\rightarrow x^{0} выполняется равенство: $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x^{0}_{i})+o(\rho(x,x^{0})).  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Геометрический смысл

Рассмотрим случай двух переменных.

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой \delta -окрестности U=U({M}',\delta ) точки {M}'=({x}',{y}') и пусть M=(x,y)\in U({M}';\delta ), \Delta x=x-{x}', \Delta y=y-{y}'. Тогда, \rho =\rho(M,{M}')=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}<\delta .

Пусть, наконец, \Delta z=f({x}'+\Delta x,{y}'+\Delta y)-f({x}',{y}').

Обычно \Delta z называется полным приращением функции; это название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все независимые переменные получают приращения, отличные от нуля.

CircleUTF8NextVersionA

Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Функция f(x) дифференцируема в точке x^{0} тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки x^{0} функция f(x) может быть представлена в виде: $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),(2)$$

где функции f_{i}(x) непрерывны в точке x^{0}.

Доказательство

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x^{0}. Тогда выполняется условие (1). Заметим, что равенство \psi (x)=o(\rho(x,x^{0})) при x\rightarrow x^{0} означает, что \psi (x)=\varepsilon (x)\rho(x,x^{0}), где \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon (x)=0.

Тогда $$\psi (x)=\frac{\varepsilon (x)}{\rho(x,x^{0})}\sum_{i=1}^n{}(x_{i}-x^{0}_{i})^{2}=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x^{0}_{i}),(3)$$ где \varepsilon_{i} (x)=\varepsilon (x)\frac{x_{i}-x_{i}^{0}}{\rho(x,x^{0})}, \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0, так как 0\leqslant \frac{\left | x_{i}-x_{i}^{0} \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant 1.

Доопределим функции \varepsilon _{i}(x) в точке x^{0} по непрерывности, полагая что \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=\varepsilon _{i}(x^{0})=0.

Тогда из (1) и (3) получаем $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x).

Так как функции \varepsilon _{i}(x) непрерывны в точке x^{0}, то и функции f_{i}(x) непрерывны в этой точке и f_{i}(x^{0})=A_{i}, i=\overline{1,n}.

Пусть выполнено (2). Тогда, воспользовавшись непрерывностью функции f_{i}(x) в точке x^{0}, положим A_{i}=f_{i}(x^{0}), f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x), \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0.

Получаем $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+o(\rho(x,x^{0})),$$ так как при x\rightarrow x^{0}: $$\frac{\left | \sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}) \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant \sum_{i=1}^n{\left | \varepsilon _{i}(x) \right |\rightarrow 0}.$$ \square

Литература

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Таблица лучших: Критерий дифференцируемости функции

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *