Обобщённым гармоническим рядом называют ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}+\cdots $$
Сходимость обобщённого гармонического ряда
$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }},$$ где
. При
получаем гармонический ряд, а он как известно расходится.
При
имеем:$$S_{n}(\alpha)=1+ \frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}\geq n \cdot \frac{1}{n^{\alpha}}=n^{1-\alpha}\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}\infty $$ Из этого следует, что
, а из этого следует расходимость ряда.
Теперь рассмотрим случай
. Выберем такое натуральное
, что
. Тогда имеем:$$S_{n}(\alpha)\leq S_{2^{m}-1}(\alpha)=1+\left ( \frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}} \right )+\left ( \frac{1}{4^{\alpha}}+\frac{1}{5^{\alpha}}+\frac{1}{6^{\alpha}}+\frac{1}{7^{\alpha}} \right )+$$$$+\cdots +\left ( \frac{1}{(2^{m-1})^{\alpha}}+\frac{1}{(2^{m-1}+1)^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{(2^{m}-1)^{\alpha}} \right )\leq $$$$\leq 1+2^{1-\alpha}+(2^{2})^{1-\alpha}+\cdots +(2^{m-1})^{1-\alpha}=$$$$=1+2^{1-\alpha}+(2^{1-\alpha})^{2}+\cdots +(2^{1-\alpha})^{m-1}=\frac{1-(2^{1-\alpha})^{m}}{1-2^{1-\alpha}}$$ Отсюда следует, что при
имеем
, т.е. последовательность частичных сумм ограниченна сверху, и по теореме о сходимости рядов с неотрицательными членами ряд сходится при
.
При
Теперь рассмотрим случай
Список Литературы
- Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления том 2. (стр.263-264)
- Л.Д. Кудрявцев Курc математического анализа том 2. (стр.12,14-15)
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математичеcкому анализу К93: в 2-х ч. Ч.2. — Одесса: Астропринт, 2009 (стр.7-8)
- Лысенко З.М. Конспект по математичeскому анализу
Тест на проверку знаний по данной теме.
Таблица лучших: Обобщённый гармонический ряд
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |