Критерий дифференцируемости функции

Определение

Функция [latex]f(x)=f(x_{1},…,x_{n})[/latex] называется дифференцируемой в точке [latex]x^{0}=(x^{0}_{1},…,x^{0}_{n})[/latex], если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа [latex]A_{1},…,A_{n}[/latex], что при [latex]x\rightarrow x^{0}[/latex] выполняется равенство: $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x^{0}_{i})+o(\rho(x,x^{0})).  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Геометрический смысл

Рассмотрим случай двух переменных.

Пусть функция [latex]z=f(x,y)[/latex] определена в некоторой [latex]\delta [/latex]-окрестности [latex]U=U({M}’,\delta )[/latex] точки [latex]{M}’=({x}’,{y}’)[/latex] и пусть [latex]M=(x,y)\in U({M}’;\delta )[/latex], [latex]\Delta x=x-{x}'[/latex], [latex]\Delta y=y-{y}'[/latex]. Тогда, [latex]\rho =\rho(M,{M}’)=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}<\delta [/latex].

Пусть, наконец, [latex]\Delta z=f({x}’+\Delta x,{y}’+\Delta y)-f({x}’,{y}’)[/latex].

Обычно [latex]\Delta z[/latex] называется полным приращением функции; это название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все независимые переменные получают приращения, отличные от нуля.

CircleUTF8NextVersionA

Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Функция [latex]f(x)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x^{0}[/latex] тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки [latex]x^{0}[/latex] функция [latex]f(x)[/latex] может быть представлена в виде: $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),(2)$$

где функции [latex]f_{i}(x)[/latex] непрерывны в точке [latex]x^{0}[/latex].

Доказательство

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x^{0}[/latex]. Тогда выполняется условие [latex](1)[/latex]. Заметим, что равенство [latex]\psi (x)=o(\rho(x,x^{0}))[/latex] при [latex]x\rightarrow x^{0}[/latex] означает, что [latex]\psi (x)=\varepsilon (x)\rho(x,x^{0})[/latex], где [latex]\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon (x)=0[/latex].

Тогда $$\psi (x)=\frac{\varepsilon (x)}{\rho(x,x^{0})}\sum_{i=1}^n{}(x_{i}-x^{0}_{i})^{2}=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x^{0}_{i}),(3)$$ где [latex]\varepsilon_{i} (x)=\varepsilon (x)\frac{x_{i}-x_{i}^{0}}{\rho(x,x^{0})}[/latex], [latex]\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0[/latex], так как [latex]0\leqslant \frac{\left | x_{i}-x_{i}^{0} \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant 1[/latex].

Доопределим функции [latex]\varepsilon _{i}(x)[/latex] в точке [latex]x^{0}[/latex] по непрерывности, полагая что [latex]\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=\varepsilon _{i}(x^{0})=0[/latex].

Тогда из [latex](1)[/latex] и [latex](3)[/latex] получаем $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ [latex]f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x)[/latex].

Так как функции [latex]\varepsilon _{i}(x)[/latex] непрерывны в точке [latex]x^{0}[/latex], то и функции [latex]f_{i}(x)[/latex] непрерывны в этой точке и [latex]f_{i}(x^{0})=A_{i}[/latex], [latex]i=\overline{1,n}[/latex].

Пусть выполнено [latex](2)[/latex]. Тогда, воспользовавшись непрерывностью функции [latex]f_{i}(x)[/latex] в точке [latex]x^{0},[/latex] положим [latex]A_{i}=f_{i}(x^{0})[/latex], [latex]f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x)[/latex], [latex]\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0[/latex].

Получаем $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+o(\rho(x,x^{0})),$$ так как при [latex]x\rightarrow x^{0}[/latex]: $$\frac{\left | \sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}) \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant \sum_{i=1}^n{\left | \varepsilon _{i}(x) \right |\rightarrow 0}.$$ [latex]\square [/latex]

Литература

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Таблица лучших: Критерий дифференцируемости функции

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *