Будем рассматривать несобственный интеграл от неограниченной функции.
Теорема
Пусть [latex]f(x)[/latex] определена на полуинтервале [latex]\left[ a ,b \right)[/latex]. Для сходимости несобственного интеграла [latex]\int _{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: для всякого [latex]\varepsilon > 0[/latex] найдется такое [latex]\delta\in\left[ a ,b \right)[/latex], что для любых [latex]{ \xi }_{ 1 },{ \xi }_{ 2 }\in\left( \delta ,b \right)[/latex] выполняется неравенство [latex]\left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon[/latex].
Доказательство
Обозначим функцию [latex]\Phi (\xi ) = \int _{a}^{\xi}{f(x)dx}[/latex]. Тогда, сходимость интеграла [latex]\int _{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] означает существование конечного предела [latex]\underset {\xi \to b-0}{\lim}\int _{a}^{\xi}{f(x)dx} = \underset {\xi \to b-0}{\lim}\Phi(\xi)[/latex], а этот предел существует, согласно критерию Коши, когда функция [latex]\Phi(\xi)[/latex] удовлетворяет условию
$$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta \in \left[ a;b \right): \forall \xi_1, \xi_2 \in \left(\delta, b \right ) \Rightarrow \left|\Phi(\xi_2)-\Phi(\xi_1) \right| < \varepsilon .$$
И в силу свойств интеграла получаем $$\left| \Phi (\xi _{ 2 })-\Phi (\xi _{ 1 }) \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx- \overset { \xi_1 }{ \underset {a }{ \int} }f(x)dx \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset {\xi_1 }{ \int } } f(x)dx \right| < \varepsilon .$$
А это то, что нам и требовалось доказать.
Список Литературы
- Конспект лекций по мат.анализу Лысенко З.М.
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр. 372-373.
- Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления» ФИЗМАТЛИТ, 1964 т.2, ст. 561-563
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.665-666.
Критерий Коши сходимости несобственных интегралов
После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме
Таблица лучших: Критерий Коши сходимости несобственных интегралов
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |