Критерий Коши

Теорема

Для того чтобы ряд \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого \varepsilon >0 существовал такой номер N_{\varepsilon }, что для любого n>N_{\varepsilon } и при любом натуральном p > 0 выполнялось неравенство:$$\left| a_{n+1}+a_{n+2}+…+a_{n+p} \right|<\varepsilon$$.

Доказательство

По определению, сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм S_{n}. В силу критерия Коши для последовательностей, сходимость последовательности {S_{n}} эквивалентна ее фундаментальности. Фундаментальность последовательности {S_{n}} означает, \forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon }: \forall n\geq N_{\varepsilon }, \forall p\in \mathbb{N}\rightarrow \left| S_{n+p}- S_{n} \right|<\varepsilon. При этом:S_{n+p}-S_{n}=a_{1}+\ldots+a_{n}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+p}-(a_{1}+\ldots+a_{n})=a_{n+1}+\ldots+a_{n+p}, тем самым теорема доказана.
Пример показать

Список Литературы

Тест на проверку знаний по данной теме.

Таблица лучших: Критерий Коши сходимости ряда

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *