Теорема
Для того чтобы ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}[/latex] сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого [latex]\varepsilon >0[/latex] существовал такой номер [latex]N_{\varepsilon }[/latex], что для любого [latex]n>N_{\varepsilon }[/latex] и при любом натуральном [latex]p > 0[/latex] выполнялось неравенство:$$\left| a_{n+1}+a_{n+2}+…+a_{n+p} \right|<\varepsilon$$.
Доказательство
По определению, сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм [latex]S_{n}[/latex]. В силу критерия Коши для последовательностей, сходимость последовательности [latex]{S_{n}}[/latex] эквивалентна ее фундаментальности. Фундаментальность последовательности [latex]{S_{n}}[/latex] означает, [latex]\forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon }: \forall n\geq N_{\varepsilon }, \forall p\in \mathbb{N}\rightarrow \left| S_{n+p}- S_{n} \right|<\varepsilon[/latex]. При этом:[latex]S_{n+p}-S_{n}=a_{1}+\ldots+a_{n}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+p}-(a_{1}+\ldots+a_{n})=[/latex][latex]a_{n+1}+\ldots+a_{n+p},[/latex] тем самым теорема доказана.
Спойлер
Покажем, что ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots$$ расходится. Для любого [latex]n[/latex] и [latex]p=n[/latex]:$$\sum_{k=n+1}^{n+p}a_{k}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{n}{2n}=\frac{1}{2},$$ т.е. для любого [latex]n[/latex] при [latex]\varepsilon =\frac{1}{2}[/latex] и [latex]p=n[/latex] критерий Коши не выполняется. Тем самым этот ряд расходится.
[свернуть]
Список Литературы
- Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебн. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.386-387)
- Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления том 2. (стр. 262-264)
- Л.Д. Кудрявцев Курс математического анализа том 2. (стр. 11-12)
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.2. — Одесса: Астропринт, 2009 (стр. 3-4)
- Лысенко З.М. Конспект по математическому анализу
Тест на проверку знаний по данной теме.
Таблица лучших: Критерий Коши сходимости ряда
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |