Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

В данной статье, используя термин «сложная функция», мы будем понимать композицию нескольких функций.

Теорема

Пусть функции { \varphi }_{ i }(x)={ \varphi }_{ i }({ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },...,{ x }_{ n })\quad i=\overline { 1,m } дифференцируемы в точке { x }^{ \circ }=({ x }_{ 1 }^{ \circ },{ x }_{ 2 }^{ \circ },...,{ x }_{ n }^{ \circ }) . Пусть функция f({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },{ y }_{ 3 },...{ ,y }_{ m }) дифференцируема в точке { y }^{ \circ }=({ \varphi }_{ 1 }({ x }^{ \circ }),{ \varphi }_{ 2 }({ x }^{ \circ }),...,{ \varphi }_{ m }({ x }^{ \circ })).

Тогда сложная функция T(x)=f({ \varphi }_{ 1 }(x),{ \varphi }_{ 2 }(x),...,{ \varphi }_{ m }(x)) дифференцируема в точке { x }^{ \circ } , причем при { x\rightarrow x }^{ \circ }
$$
T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i }({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ })+o(p(x,{ x }^{ \circ }))} 
$$
$$
{A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } }  } ({ y }^{ \circ  })\frac { \partial { \varphi  }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ  }),\quad i=\overline { 1,n } \quad \quad \quad \quad (1)
$$

Доказательство показать
Замечание показать
Пример показать

 

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

Тест, на понимание темы «Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций»

Таблица лучших: Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *