M1442. Равенство отрезков касательных

Задача из журнала «Квант» (М1442)

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q(P — на прямой BM, Q — на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.

Решение

Легко доказать, что треугольники MAP и QAN подобны. Несколько труднее — что они равны. Но и это можно сделать, используя лишь теоремы о величине вписанного угла, о величине угла между касательной и хордой, а также о величине угла между касательной и секущей (он равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла, рис. 1).

Рис.1
Рис.1

Пусть величины дуг AB двух кругов (заключенных внутри кругов) равны 2\phi и 2\psi (для дуг, лежащих внутри углов MAB и NAB соответственно). Легко видеть, что \angle BNA = \angle QNA = \phi, а также \angle MPA = \phi — как в случае, когда точки P и N лежат по одну сторону от прямой AB (рис. 2), так и в случае, когда по разные (рис. 3, где \angle BPA = \pi - \phi). Аналогично, \angle BMA = \angle PMA = \psi = \angle NQA. Отсюда следует подобие \triangle MAP\sim \triangle QAN.

рис. 2
Рис. 2

рис. 3
Рис. 3

Докажем, что AP = AN. Проверим, что эти хорды стягивают разные дуги. Величина дуги ABN (как и ABM) равна 2\phi + 2\psi, т. е. точки A и N делят окружности на дуги 2\phi + 2\psi и 2\pi - 2\phi - 2\psi. Дугу AP можно найти рассмотрев угол \angle AMB = \phi как угол между касательной и секущей : величина этой дуги, лежащей внутри угла, равна 2\phi + 2\psi на рисунке 2 и 2\pi - 2\phi - 2\psi на рисунке 3, т. е. точки A и P делят окружность на такие же дуги 2\phi + 2\psi и 2\pi - 2\phi - 2\psi.  Аналогично, AQ = AM. Отсюда следует, что \triangle MAP=\triangle QAN и MP = QN.

      И. Нагель

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *