M2216. Покрытие многоугольника

Задача из журнала «Квант» (2011 год, выпуск 2)

На сторонах A_{1}A_{2}, A_{2}A_{3}, \dots, A_{n}A_{1}  выпуклого многоугольника  A_{1}A_{2}\dots A_{n} взяты точки  B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n} соответственно. Докажите, что круги, описанные вокруг треугольников  B_{n}A_{1}B_{1}, ~ B_{1}A_{2}B_{2}, ~ B_{2}A_{3}B_{3}, ~ \dots, ~ B_{n-1}A_{n}B_{n} покрывают весь многоугольник.

Доказательство

Пусть  P — произвольная точка внутри данного многоугольника (см. рисунок). Сумма
poly123
$$ \left(\angle B_{n} A_{1} B_{1} + \angle B_{1} A_{2} B_{2} + \cdots + \angle B_{n-1} A_{n} B_{n} \right) + \left(\angle B_{n}PB_{1} + \angle B_{1} P B_{2} + \cdots + B_{n-1} P B_{n} \right) $$
равна  \left( n - 2 \right) \cdot 180^{\circ} + 360^{\circ} = n \cdot 180^{\circ}, поэтому хотя бы одна из  n сумм
$$ \left( \angle B_{n}A_{1}B_{1} + B_{n}PB_{1} \right), \left( \angle B_{1}A_{2}B_{2} + B_{1}PB_{2} \right), \cdots, \left( \angle B_{n-1}A_{n}B_{n} + B_{n-1}PB_{n} \right)$$
не меньше  180^{\circ}. Но неравенство  \left(\angle B_{i-1}A_{i}B_{i} + \angle B_{i-1}PB_{i} \geq 180^{\circ} \right) означает, что точка  P лежит внутри или на границе круга, описанного около треугольника  B_{i-1} A_{i} B_{i} (здесь считаем, что  B_{0} = B_{n} ).
В силу произвольности точки  P , заключаем, что указанные круги покрывают весь многоугольник.

Авторы:  П.Кожевников, Н.Седракян

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *