M2216. Покрытие многоугольника

Доказательство

Пусть [latex] P [/latex] — произвольная точка внутри данного многоугольника (см. рисунок). Сумма

$$ \left(\angle B_{n} A_{1} B_{1} + \angle B_{1} A_{2} B_{2} + \cdots + \angle B_{n-1} A_{n} B_{n} \right) + \left(\angle B_{n}PB_{1} + \angle B_{1} P B_{2} + \cdots + B_{n-1} P B_{n} \right) $$
равна [latex] \left( n — 2 \right) \cdot 180^{\circ} + 360^{\circ} = n \cdot 180^{\circ}[/latex], поэтому хотя бы одна из [latex] n [/latex] сумм
$$ \left( \angle B_{n}A_{1}B_{1} + B_{n}PB_{1} \right), \left( \angle B_{1}A_{2}B_{2} + B_{1}PB_{2} \right), \cdots, \left( \angle B_{n-1}A_{n}B_{n} + B_{n-1}PB_{n} \right)$$
не меньше [latex] 180^{\circ}[/latex]. Но неравенство [latex] \left(\angle B_{i-1}A_{i}B_{i} + \angle B_{i-1}PB_{i} \geq 180^{\circ} \right) [/latex] означает, что точка [latex] P [/latex] лежит внутри или на границе круга, описанного около треугольника [latex] B_{i-1} A_{i} B_{i}[/latex] (здесь считаем, что [latex] B_{0} = B_{n} [/latex]).
В силу произвольности точки [latex] P [/latex], заключаем, что указанные круги покрывают весь многоугольник.