М1618. О векторах и правильных многоугольниках

Задача из журнала «Квант» (1997, №6)

Условие

В вершины правильного n-угольника из его центра проведены n векторов из них выбраны несколько (не все), сумма которых равна нулю.Докажите, что концы некоторой части выбранной совокупности векторов образуют правильный многоугольник (две симметричные относительно центра точки считаются правильным «двуугольником»), если :

  1.  n = 6;
  2.  n = 8;
  3.  n = 9;
  4. n = 12.
  5. Будет ли аналогичное утверждение, верным при любом n?

Автор задачи: В. Сендеров.

Решение

Ответ на общий вопрос 5) отрицательный. Приведем пример для n = 30, т.е. укажем «неправильную» систему векторов, ведущих из центра O = (0; 0) в некоторые вершины тридцатиугольника, сумма которых равана нулю, среди среди которых нет k векторов, ведущих в вершины правильного k-угольника при k = 2, 3 и 5 (а тем самым и при любом k, не превосходящем 30).
Пусть A(1; 0) — одна из вершин тридцатиугольника, тогда B(-1; 0) — противоположная вершина. Направим векторы в вершины правильного пятиугольника, одна из которых A, и в вершины правильного треугольника, одна из которых B, а затем удалим векторы \underset{OA}{\rightarrow}, \underset{OB}{\rightarrow} (они дают в сумме нуль). Оставшиеся шесть векторов (см. рисунок) составляют нужную систему.
my_english_is_not_horoshii
Разумеется, здесь (и ниже) вы используем тот факт, что сумма k векторов, ведущих в вершины правильного k-угольника из его центра, равна нулю; это следует, например, из того, что сумма не меняется при повороте всей картины вокруг центра на угол \frac {2\pi}{k}. Заметим, что для проекций векторов, один из которых имеет координаты (0; 1), этот факт по существу эквивалентен тождеству
$$1 + \cos \frac{2\pi}{k} + \cos \frac{4\pi}{k} + … + \cos \frac{2(k-1)\pi}{k} = 0$$
(для четного k оно очевидно, для любого k легко доказывается после умножения на \sin \frac{\pi}{k} ). Аналогично, в примере на рисунке можно провести доказательство прямым подсчетом: чтобы убедиться, что сумма векторов равна нулю, нужно проверить тождество \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} (здесь удобно домножить левую часть на \sin \frac{\pi}{5}).
<p>Перейдем теперь к отрицательным результатам 1) — 4), показывающим, что для малых n такой пример не построить. Сформулируем простую лемму. Пусть \underset{OA}{\rightarrow}, \underset{OB}{\rightarrow}, \underset{OC}{\rightarrow} и \underset{OD}{\rightarrow} — различные единичные векторы. Тогда:

  1. если \underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow} = \underset{0}{\rightarrow}, то A, B, C — вершины правильного треугольника;
  2.  если \underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow} + \underset{OD}{\rightarrow} = \underset{0}{\rightarrow}, то векторы разбиваются на две пары взаимно противоположных (т.е. A, B, C, D являются вершинами прямоугольника).

Докажем 2. Пусть точки A, B, C, D лежат на окружности в указанном порядке. Тогда из равенства
\frac{\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow}}{2} + \frac{\underset{OC}{\rightarrow} + \underset{OD}{\rightarrow}}{2} = \underset{0}{\rightarrow} следует, что середины хорд AB и CD равноудалены от O, откуда AB = CD; аналогично, BC = DA, так что ABCD — вписанный параллелограмм, т.е. прямоугольник. Доказательство 1 еще проще: из равенств вида \frac{\underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow}}{2} = -\frac{\underset{OA}{\rightarrow}}{2} ясно, что середины хорд BC, CA и AB равноудалены от точки O. Значит, BC = CA = AB.
При n <= 9 в системе векторов, о которой идет речь в задаче, либо в дополняющей ее до n системе не более четырех векторов. По лемме, эту систему можно разбить на правильные k-угольники (k = 2 или k = 3).
Значит, этим же свойством обладает и дополнительная система вершин.
Тем самым, пункты 1) — 3) задачи решены.
В пункте 4) можно рассуждать так. Пусть система содержит вектор (1; 0) и не содержит противоположный вектор (-1; 0). Докажем, что тогда она содержит и векторы (\cos \frac{2\pi}{3}; \pm \sin {2\pi}{3}).
В самом деле, среди наших 10 векторов (не считая (1; 0) и противоположного) три пары дают в проекции на ось Ox рациональные числа
$$\cos (\pm \frac{\pi}{3}) = \frac {1}{2}, \cos (\pm \frac {2\pi}{3}) = — \frac {1}{2}, \cos (\pm \frac {\pi}{2}) = 0$$,
две пары — иррациональные числа; ясно, что получить в сумме из этих чисел нужную минус единицу можно, лишь используя две (-1/2).
Используя результаты статьи «Многочлены деления круга» («Квант» №1, 1998), нетрудно доказать, что при n = p и n = 2p, где p — простое число, нетривиальных систем векторов с суммой нуль не существует, а при любом n, имеющем не менее трех разных простых множителей, такая система существует.
Один из способов построения нужных примеров — использование корней многочленов деления круга с коэффициентами +1 и -1; например, равенство многочлена {\Phi}_{15}(\xi) = 0, где \xi — один из корней {\Phi}_{15}, дает пример «неправильной семерки» векторов. Оно же позволяет получить такую же шестерку векторов, как на рисунке.
Однако остается немало вопросов, связанных с этой задачей.
Например, существует ли пример для n = 15 (из сказанного выше следует, что для n < 15 его нет), для n вида {p}^{a} и {p}^{a} * {q}^{b}, где p и q простые? Существует ли для некоторого n неправильная система из 5 векторов , идущих в вершины правильного n-угольника, суммой нуль (не содержащая меньших правильных подсистем)? Возможно ли система, которую, в отличие от построенных выше примеров, нельзя получить не только как «сумму», но и как «алгебраическую сумму» (т.е. «сложением» и «вычитанием») правильных подсистем?

Авторы решения: Н. Васильев, В. Сендеров.

М1618. О векторах и правильных многоугольниках: 4 комментария

  1. — «общий вопрос д)» нет такого вопроса. Нужно согласовать нумерацию.
    — Зачем звездочка в ссылке 1618*?
    — Риски на циферблате, стрелки — все чудовищно кривое. Такое ощущение, что Вы не рассчитывали координаты, а рисовали их от руки. Даже корявее чем растрт из Кванта 18-летней давности. Нужно переделать
    — Где по высоте должны быть знаки равенства?
    В моем детстве за такое качество работы дразнили «Кирпич на кирпич, гони бабка магарыч!» Фу.

    1. Но вы же сами сказали рисовать все от руки. Я думал рассчитать все программно, и потом просто ввести координаты, но вы же сказали, что если вы увидете координаты по типу «45.23045» сразу решите что svg было сделано не в ручную, а через специальные программы. Поэтому пришлось делать от руки. Иными словами все нужно сделать программно, а не от руки?

    2. Исправил все кроме третьего. Сейчас напишу программу для третьего и обновлю.

  2. Вы действительно не понимаете или просто считаете полезным для меня поучаствовать в дискуссии? «От руки» это с использованием мышки и графического редактора? Если так, то Вы меня поняли с точностью до наоборот. Выполняйте любые расчеты и делайте так, чтобы все было как следует.
    Знаки равенства на уровне знака вектора все еще не исправил.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *