Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

Определение

Пусть f — действительная функция на открытом множестве E\subset\mathbb{R}^{n}. Говорят, что f имеет локальный максимум в точке x_{0}\in E, если существует такая окрестность U точки x_{0}, что для всех x\in U выполняется неравенство f\left(x\right)\leq f\left(x_{0}\right).

Локальный максимум называется строгим, если окрестность U можно выбрать так, чтобы для всех x\in U, отличных от x_{0}, было f\left(x\right)<f\left(x_{0}\right).

Аналогично определяется локальный минимум. Оба объединяются под общим названием локального экстремума.

Необходимые условия экстремума

Пусть f — действительная функция на открытом множестве E\subset\mathbb{R}^{n}. Если в точке x_{0}\in E функция f имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то

в терминах дифференциала

df\left(x_{0}\right)=0

или в терминах частных производных

\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\left(x_{0}\right)=0.

Доказательство

В одномерном случае это — теорема Ферма. Обозначим \varphi\left(t\right)=f\left(x_{0}+th\right), где h — произвольный вектор. Функция \varphi определена на достаточно малых по модулю значениях t. Кроме того, по теореме о производной сложной функции, она дифференцируема, и {\varphi}'\left(t\right)=df\left(x_{0}+th\right)h.

Пусть f имеет локальный экстремум в точке x_{0}. Значит, функция \varphi при t=0 имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, {\varphi}'\left(0\right)=0.

Мы получили, что df\left(x_{0}\right)=0, т.е. дифференциал функции f в точке x_{0} равен нулю на любом векторе h.

Литература

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *