Ряд Тейлора

Ряды Тейлора
Определение и основные свойства
Если f\left ( x \right ) определена в U_{\delta }\left ( x_{0} \right ) и \exists f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )  k=1,2,..., то степенной ряд вида \sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )}{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k} называется рядом Тейлора функции f в точке x_{0}. Пусть функция представима виде степенного ряда f\left ( x \right )=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left ( x-x_{0} \right )^{n} \mid x-x_{0}\mid<R. Тогда f бесконечно дифференцируема внутри интервала сходимости, а коэффициенты ряда a_{n}=\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right )}{n!}.
Таким образом степенной ряд для f совпадает с рядом Тейлора этой функции в точке x_{0}.
Замечание. Пусть f бесконечно дифференцируема в точке x_{0}. Тогда можно выписать её ряд Тейлора.
\sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{f^{\left ( k \right )}\left ( x_{0} \right )}{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k}
Пример. Разложить  функцию f\left ( x \right )=x^{3}+4x^{2}-3x+2 в ряд Тейлора по степеням \left ( x-1 \right ).
Решение:
f\left ( a \right )=f\left ( 1 \right )=1+4-3+2=4
{f}'\left ( x \right )=\left ( x^{3}+4x^{2}-3x+2 \right )=3x^{2}+8x-3
{f}'\left ( a \right )={f}'\left ( 1 \right )=3+8-3=8
{f}''\left ( x \right )=\left ( 3x^{2}+8x-3 \right )'=6x+8
{f}''\left ( a \right )={f}''\left ( 1 \right )=6+8=14
{f}'''\left ( x \right )=\left ( 6x+8 \right )'=6=const
{f}'''\left ( a \right )={f}'''\left ( 1 \right )=6
{f}^{\left ( 4 \right )}\left ( x \right )=\left ( 6 \right )'=0, все производные, начиная с четвертой производной, будут нулевыми.
Теперь подставляем все в формулу Тейлора:
f\left ( x \right )=x^{3}+4x^{2}-3x+2=4+\frac{8}{1!}\left ( x-1 \right )+\frac{14}{2!}\left ( x-1 \right )^{2}+\frac{6}{3!}\left ( x-1 \right )^{3}+0+0+0+...=4+8\left ( x-1 \right )+7\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( x-1 \right )^{3}.
Рисунок показать
Источники

Ряды Тейлора

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Ряды Тейлора

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *