Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

Определение

Пусть [latex]f[/latex] — действительная функция на открытом множестве [latex]E\subset\mathbb{R}^{n}[/latex]. Говорят, что [latex]f[/latex] имеет локальный максимум в точке [latex]x_{0}\in E[/latex], если существует такая окрестность [latex]U[/latex] точки [latex]x_{0}[/latex], что для всех [latex]x\in U[/latex] выполняется неравенство [latex]f\left(x\right)\leq f\left(x_{0}\right)[/latex].

Локальный максимум называется строгим, если окрестность [latex]U[/latex] можно выбрать так, чтобы для всех [latex]x\in U[/latex], отличных от [latex]x_{0}[/latex], было [latex]f\left(x\right)<f\left(x_{0}\right)[/latex].

Аналогично определяется локальный минимум. Оба объединяются под общим названием локального экстремума.

Необходимые условия экстремума

Пусть [latex]f[/latex] — действительная функция на открытом множестве [latex]E\subset\mathbb{R}^{n}[/latex]. Если в точке [latex]x_{0}\in E[/latex] функция [latex]f[/latex] имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то

в терминах дифференциала

[latex]df\left(x_{0}\right)=0[/latex]

или в терминах частных производных

[latex]\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\left(x_{0}\right)=0[/latex].

Доказательство

В одномерном случае это — теорема Ферма. Обозначим [latex]\varphi\left(t\right)=f\left(x_{0}+th\right)[/latex], где [latex]h[/latex] — произвольный вектор. Функция [latex]\varphi[/latex] определена на достаточно малых по модулю значениях [latex]t[/latex]. Кроме того, по теореме о производной сложной функции, она дифференцируема, и [latex]{\varphi}’\left(t\right)=df\left(x_{0}+th\right)h[/latex].

Пусть [latex]f[/latex] имеет локальный экстремум в точке [latex]x_{0}[/latex]. Значит, функция [latex]\varphi[/latex] при [latex]t=0[/latex] имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, [latex]{\varphi}’\left(0\right)=0[/latex].

Мы получили, что [latex]df\left(x_{0}\right)=0[/latex], т.е. дифференциал функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex] равен нулю на любом векторе [latex]h[/latex].

Литература

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *