Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

Определение

$k$-й дифференциал является однородным целым многочленом степени $k$, или как говорят, является формой $k$-й степени относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные $k$-го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (полиномиальные коэффициенты).

Объяснение

Пусть в области $D$ задана некоторая функция $u=f\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)$, имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Дифференциалом  $du$ будем называть следующее выражение:

$$du=\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}$$,

где  $dx_{1},…,dx_{n}$ — произвольные приращения независимых переменных  $x_{1},…,x_{n}$.

Предположим, что существуют непрерывные частные производные второго порядка для  $u$, то есть $du$ будет иметь непрерывные частные производные первого порядка, и можно говорить о дифференциале от этого дифференциала $d\left(du\right)$, который называется дифференциалом второго порядка, и обозначается символом  $d^{2}u$.

Важно, что приращения  $dx_{1},dx_{2},…,dx_{n}$ остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Таким образом, если воспользоваться правилами дифференцирования, будем иметь:

$d^{2}u=d\left(du\right)=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}\right)$$=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}\right)dx_{1}+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{2}}\right)dx_{2}+…+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{n}}\right)dx_{n}$.

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка, $d^{3}u$, и т.д. Вообще, если дифференциал  $\left(k-1\right)$-го порядка, $d^{k-1}u$, уже определен, то дифференциал  $k$-го порядка можно определить реккурентной формулой :

$$
d^{k}u=d\left(d^{k-1}u\right)
$$

Иными словами, если для функции $u$ существуют непрерывные частные производные всех порядков до $k$-го порядка включительно, то $k$-й дифференциал существует.
 

Пример

показать

Свойства дифференциалов высших порядков

  • Дифференциал $n$-го порядка независимой переменной при $n>1$ равен нулю

$d^{n}\left(x\right)=0$

Предположим, что существуют $d^{n}u$ и $d^{n}v$. Тогда:

  • $d^{n}\left(Au+Bv\right)=Ad^{n}u+Bd^{n}v$

AB — константы, следовательно

  • $d^{n}uv=\sum\limits_{k=1}\limits^{n}C_{n}^{k}d^{k}ud^{n-k}v$

Литература

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Таблица лучших: Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *