Признак Вейерштрасса
Если для функционального ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x)$ можно указать такой сходящийся числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n}$, что для всех $n\geq n_{0}$ и для всех $x \in \varepsilon$ выполняется условие $\left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n}$ то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x)$ сходится абсолютно и равномерно на множестве $E $
Доказательство
Согласно условию $\left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n}$ для любого $n\geq n_{0}$, любого $p \in N$ и для каждого $x \in \varepsilon$ выполняется неравенство $\left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}$. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n}$ следует, что для него выполняется условие Коши, т.е. $\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k} 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k} 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \forall x \in E \rightarrow \left |\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}{u}_{k}(x) \right | < \varepsilon $, и в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда этот ряд сходится равномерно на множестве $E$.
Абсолютная сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x)$ для каждого $x \in \varepsilon$ следует из правого неравенства $\left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}$
Признак Дирихле
Ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x)$ сходится равномерно на множестве $E$, если выполняются условия:
- последовательность $\left \{B_{n} (x) \right \}$, где $B_{n} (x) = \sum\limits_{n}^{k = 1}b_{k}(x)$, равномерно ограничена на множестве $E$, т.е. $\exists M > 0: \forall x \in E \forall n \in N \rightarrow \left |B_{n} \right | \leq M$
- последовательность $\left \{a_{n} (x) \right \}$ монотонна на множестве $E$, т.е. $ \forall x \in E \forall n \in N \rightarrow a_{n+1} (x) \leq a_{n} (x)$ и равномерно стремится к нулю, т.е. $a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E$
Доказательство
Воспользуемся оценкой $\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x) \right | + \left |a_{n+p}(x) \right |)$, полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов. Условие $a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E$ означает, что $\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E \rightarrow \left |a_{k}(x) \right | 0: \forall x \in E \forall n \in N \rightarrow \left |B_{n} \right | \leq M$, $\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x) \right | + \left |a_{n+p}(x) \right |)$ и $\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E \rightarrow \left |a_{k}(x) \right | < \frac{\varepsilon}{4M}$ следует, что для всех $n \geq N_{\varepsilon}$, для всех $p \in N$ и для всех $x \ in E$ выполняется неравенство $\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_{k}(x)b_{k}(x) \right | < \varepsilon$, и в силу критерия Коши ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x) $ сходится равномерно на множестве $E$.
Признак Абеля
Ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x) $ сходится равномерно на множестве $E$, если выполняются условия:
- ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ сходится равномерно на множестве $E$;
- последовательность $\left \{a_{n} (x) \right \}$ монотонна на множестве $E$, т.е. $\forall n \in N \forall x \in E \rightarrow a_{n+1}(x)\leq a_{n}(x)$ и равномерно ограничена, т.е.$\exists M > 0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow \left |a_{n}(x) \right |\leq M$
Доказательство
Обозначим $B_{j}^{(n)}(x) = \sum\limits_{k=n+1}^{n+j}b_{k}(x)$. Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ удовлетворяет условию Коши, т.е. $\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x) \right | 0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow \left |a_{n}(x) \right |\leq M$ и $\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x) \right | < \frac{\varepsilon}{3M}$, получаем $\left | \sigma \right | 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall p \in N \forall x \in E \rightarrow \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right |< \varepsilon$, и по критерию Коши ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ сходится равномерно на множестве $E$.
Список литературы:
- Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр.72
- Тер-Крикоров и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 412
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2
Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле
Вопросы для усвоения темы :»Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле»
Таблица лучших: Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
У вас некорректно отображаются формулы на сайте, исправьте!
Спасибо, исправил.
Но обратите внимание, что сайт не учебник матанализа или алгебры. Здесь студенты (иногда двоечники) выкладывают свои работы. Врядли через лет студент будет что-то тут исправлять или мониторить комментарии. Лучше читать учебники из списка литературы, который есть на каждой страничке.
У вас в тесте спрашивается про признак Дирихле, а в ответах признак Абеля