Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

Признак Вейерштрасса

Если для функционального ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x) можно указать такой сходящийся числовой ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n}, что для всех n\geq n_{0} и для всех x \in \varepsilon выполняется условие \left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n} то ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x) сходится абсолютно и равномерно на множестве E

Доказательство

Согласно условию \left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n} для любого n\geq n_{0}, любого p \in N и для каждого x \in \varepsilon выполняется неравенство \left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}. Из сходимости ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n} следует, что для него выполняется условие Коши, т.е. \forall \varepsilon > 0  \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq  N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow  \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k}  0  \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq  N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow  \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k}  0  \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq  N_{\varepsilon} \forall p \in N \forall x \in E \rightarrow  \left |\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}{u}_{k}(x)   \right | < \varepsilon , и в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда этот ряд сходится равномерно на множестве E.

Абсолютная сходимость ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x) для каждого x \in \varepsilon следует из правого неравенства \left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}

Признак Дирихле

Ряд \sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x)  сходится равномерно на множестве E, если выполняются условия:

  • последовательность \left \{B_{n} (x) \right \}, где B_{n} (x) =  \sum\limits_{n}^{k = 1}b_{k}(x), равномерно ограничена на множестве E, т.е. \exists M > 0: \forall x \in E \forall  n \in N \rightarrow \left |B_{n}  \right | \leq M
  • последовательность \left \{a_{n} (x) \right \} монотонна на множестве E, т.е.  \forall x \in E \forall  n \in N \rightarrow a_{n+1} (x)  \leq  a_{n} (x) и равномерно стремится к нулю, т.е. a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E

Доказательство

Воспользуемся оценкой \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x)  \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x)  \right | + \left |a_{n+p}(x)  \right |), полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов. Условие a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E означает, что \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E  \rightarrow  \left |a_{k}(x)  \right |  0: \forall x \in E \forall  n \in N \rightarrow \left |B_{n}  \right | \leq M, \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x)  \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x)  \right | + \left |a_{n+p}(x)  \right |) и \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E  \rightarrow  \left |a_{k}(x)  \right | < \frac{\varepsilon}{4M} следует, что для всех n \geq N_{\varepsilon}, для всех p \in N и для всех x \ in E выполняется неравенство \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_{k}(x)b_{k}(x)  \right | < \varepsilon, и в силу критерия Коши ряд \sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x)  сходится равномерно на множестве E.

Признак Абеля

Ряд \sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x)  сходится равномерно на множестве E, если выполняются условия:

  • ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x) сходится равномерно на множестве E;
  • последовательность \left \{a_{n} (x) \right \} монотонна на множестве E, т.е. \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow  a_{n+1}(x)\leq a_{n}(x) и равномерно ограничена, т.е.\exists M > 0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow  \left |a_{n}(x)  \right |\leq M

Доказательство

Обозначим B_{j}^{(n)}(x) = \sum\limits_{k=n+1}^{n+j}b_{k}(x). Тогда ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x) удовлетворяет условию Коши, т.е. \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq  N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x)  \right |  0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow  \left |a_{n}(x)  \right |\leq M и \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq  N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x)  \right | < \frac{\varepsilon}{3M}, получаем \left | \sigma  \right | 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall p \in N \forall  x \in E \rightarrow  \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x)  \right |< \varepsilon, и по критерию Коши ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x) сходится равномерно на множестве E.

Список литературы:

Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

Вопросы для усвоения темы :»Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле»


Таблица лучших: Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *