Пусть заданы последовательность функций и функция
, определенные на множестве
. Будем говорить, что указанная последовательность сходится к функции
равномерно на множестве
, если для любого
существует такой номер
, что если
, то для всех
выполняется неравенство
.
Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве
, если существует функция
, к которой она равномерно сходится на
.
Очевидно, что если последовательность равномерно сходится к функции
на множестве
, то она и просто сходится к этой функции на
.
Если последовательность сходится на множестве
к функции
, то символически будем записывать это так:
.
Если же эта последовательность равномерно сходится на к функции
, то будем писать:
.
Заметим, что если последовательность просто сходится к функции
на множестве
, то это означает, что для любого
и любого
существует номер
, зависящий как от
, так и от
, такой, что для всех номеров
имеет место неравенство
.
Сущность равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого можно выбрать такой номер
, зависящий только от заданного
и не зависящий от выбора точки
, что при
неравенство
будет выполняться всюду на множестве
, т.е. «графики» функций
расположены в «
— полоске» , окружающей график функции
(рис. 1).
Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого при всех достаточно больших
(а именно при
) значение функций
приближают функцию
с погрешностью, меньшей
, сразу на всем множестве
.
Запишем для наглядности определения сходящихся и равномерно сходящихся на множестве последовательностей с помощью символов существования и всеобщности:
Пример
Последовательность на отрезке
, сходится равномерно к функции, тождественно равной нулю. Действительно, если
то
.
Так как , то для любого фиксированного
существует такое
, что
. В силу неравенства
,
и всех
.
Теорема
Последовательность функций , определенных на множестве
, равномерно сходится на этом множестве к функции
в том и только том случае, когда
.
Доказательство
Если соблюдены все условия сходимости функциональных последовательностей, то для каждого существует такой номер
, что для всех
и всех
выполняется неравенство
будем иметь
, а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия
.
Обратное: Если данное условие выполнено, то, по определению конечного предела последовательности элементов из , для любого
существует такой номер
, что для всех
выполняется неравенство
.
Отсюда следует, что для всех и всех
справедливо неравенство
, т.е. выполняются условия определения.
В силу того, что почти все члены последовательностей верхних граней , для равномерно сходящихся последовательностей функций конечны, критерий
, по существу, сводит понятие равномерной сходимости функциональной последовательности к понятию сходимости числовой последовательности.
Список литературы:
- Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр.67
- Тер — Крикоров и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 408
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2
Тест по теме «Равномерная сходимость функциональных последовательностей»
Таблица лучших: Равномерная сходимость функциональных последовательностей
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |