Пусть заданы последовательность функций $f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,...$ и функция $f$ , определенные на множестве $X$ . Будем говорить, что указанная последовательность сходится к функции $f$ равномерно на множестве $X$ , если для любого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $n_{\varepsilon}$ , что если $n > n_{\varepsilon}$ , то для всех $x \in X$ выполняется неравенство $\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon$ .

Последовательность $f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,...$ называется равномерно сходящейся на множестве $X$ , если существует функция $f$ , к которой она равномерно сходится на $X$ .

Очевидно, что если последовательность $f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,...$ равномерно сходится к функции $f$ на множестве $X$ , то она и просто сходится к этой функции на $X$ .

Если последовательность $\left\{f_{n} \right\}$ сходится на множестве $X$ к функции $f$ , то символически будем записывать это так: $f_{n}\underset{x}{\rightarrow}f$ .

Если же эта последовательность равномерно сходится на $X$ к функции $f$ , то будем писать: $f_{n}\underset{\underset{x}{\rightarrow}}{\rightarrow}f$ .

Заметим, что если последовательность $f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,...$ просто сходится к функции $f$ на множестве $X$ , то это означает, что для любого $\varepsilon > 0$ и любого $x \in X$ существует номер $n_{0} = n_{0}\left(\varepsilon ,x \right)$ , зависящий как от $\varepsilon$ , так и от $x$ , такой, что для всех номеров $n > n_{0}$ имеет место неравенство $\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon$ .

Сущность равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого $\varepsilon > 0$ можно выбрать такой номер $n > n_{\varepsilon}$ , зависящий только от заданного $\varepsilon$ и не зависящий от выбора точки $x \in X$ , что при $n > n_{\varepsilon}$ неравенство $\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon$ будет выполняться всюду на множестве $X$ , т.е. «графики» функций $f_{n}$ расположены в « $\varepsilon$ — полоске» , окружающей график функции $f$ (рис. 1).

Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого $\varepsilon > 0$ при всех достаточно больших $n$ (а именно при $n > n_{\varepsilon}$ ) значение функций $f_{n}$ приближают функцию $f$ с погрешностью, меньшей $\varepsilon$ , сразу на всем множестве $X$ .

Запишем для наглядности определения сходящихся и равномерно сходящихся на множестве $X$ последовательностей с помощью символов существования и всеобщности:

$f_{n}\underset{x}{\rightarrow}f\overset{def }{\Leftrightarrow }\forall\varepsilon > 0 \forall x \in X \exists n_{\varepsilon } \forall n > n_{\varepsilon }:\left | f_{n}\left ( x \right ) - f \left ( x \right ) \right | < \varepsilon$

$f_{n}\underset{\underset{x}{\rightarrow}}{\rightarrow}f\overset{def }{\Leftrightarrow }\exists n_{\varepsilon } \forall x \in X \forall n \forall n_{\varepsilon }: \left | f_{n}\left ( x \right ) - f \left ( x \right ) \right | < \varepsilon$

Пример

Последовательность $1,x, x^{2},...,x^{n},...$ на отрезке $\left[0, q \right], 0 < q < 1$ , сходится равномерно к функции, тождественно равной нулю. Действительно, если $0 \leq x \leq q$ то $0 \leq x ^{n}\leq q^{n}, n = 1,2,...$ .

Так как $\lim_{n \rightarrow \infty} q^{n} = 0$ , то для любого фиксированного $\varepsilon > 0$ существует такое $n_{\varepsilon}$ , что $q^{n} n_{\varepsilon}$ . В силу неравенства $0 \leq x ^{n}\leq q^{n}, n = 1,2,...$ , $0 \leq x^{n} n_{\varepsilon}$ и всех $x \in \left[0, q \right]$ .

Теорема

Последовательность функций $\left\{f_{n} \right\}$ , определенных на множестве $X$ , равномерно сходится на этом множестве к функции $f$ в том и только том случае, когда $\lim_{n \rightarrow \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| = 0$ .

Доказательство

Если соблюдены все условия сходимости функциональных последовательностей, то для каждого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $n_{\varepsilon}$ , что для всех $n > n_{\varepsilon}$ и всех $x \in X$ выполняется неравенство $\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| n_{\varepsilon}$ будем иметь $\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| \leq \frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon$ , а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия $\lim_{n \rightarrow \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| = 0$ .

Обратное: Если данное условие выполнено, то, по определению конечного предела последовательности элементов из $\bar{R}$ , для любого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $n_{\varepsilon}$ , что для всех $n > n_{\varepsilon}$ выполняется неравенство $\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon$ .

Отсюда следует, что для всех $n > n_{\varepsilon}$ и всех $x \in X$ справедливо неравенство $\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon$ , т.е. выполняются условия определения.

В силу того, что почти все члены последовательностей верхних граней $\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right), n = 1,2,... \right|$ , для равномерно сходящихся последовательностей функций конечны, критерий $\lim_{n \rightarrow \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| = 0$ , по существу, сводит понятие равномерной сходимости функциональной последовательности к понятию сходимости числовой последовательности.

Список литературы:

Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр.67
Тер — Крикоров и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 408
В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2

Тест по теме «Равномерная сходимость функциональных последовательностей»

Таблица лучших: Равномерная сходимость функциональных последовательностей

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пример

Теорема

Доказательство

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Похожее

Добавить комментарий Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат

Пример

Теорема

Доказательство

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Поделиться ссылкой:

Похожее

Добавить комментарий Отменить ответ