Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть заданы последовательность функций f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,... и функция f, определенные на множестве X. Будем говорить, что указанная последовательность сходится к функции f равномерно на множестве X, если для любого \varepsilon > 0 существует такой номер n_{\varepsilon}, что если n > n_{\varepsilon}, то для всех x \in X выполняется неравенство \left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon .

Последовательность f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,... называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на X.

Очевидно, что если последовательность f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,... равномерно сходится к функции f на множестве X, то она и просто сходится к этой функции на X.

Если последовательность \left\{f_{n} \right\} сходится на множестве X к функции f, то символически будем записывать это так: f_{n}\underset{x}{\rightarrow}f.

Если же эта последовательность равномерно сходится на X к функции f, то будем писать: f_{n}\underset{\underset{x}{\rightarrow}}{\rightarrow}f.

Заметим, что если последовательность f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,... просто сходится к функции f на множестве X, то это означает, что для любого \varepsilon > 0 и любого x \in X существует номер n_{0} = n_{0}\left(\varepsilon ,x \right), зависящий как от \varepsilon, так и от x, такой, что для всех номеров n > n_{0} имеет место неравенство \left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon .

my

Сущность равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого \varepsilon > 0 можно выбрать такой номер n > n_{\varepsilon}, зависящий только от заданного \varepsilon и не зависящий от выбора точки x \in X, что при n > n_{\varepsilon} неравенство \left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon будет выполняться всюду на множестве X, т.е. «графики» функций f_{n} расположены в «\varepsilon — полоске» , окружающей график функции f(рис. 1).

Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого \varepsilon > 0 при всех достаточно больших n(а именно при n > n_{\varepsilon}) значение функций f_{n} приближают функцию f с погрешностью, меньшей \varepsilon, сразу на всем множестве X.

Запишем для наглядности определения сходящихся и равномерно сходящихся на множестве X последовательностей с помощью символов существования и всеобщности:

f_{n}\underset{x}{\rightarrow}f\overset{def }{\Leftrightarrow }\forall\varepsilon > 0   \forall  x \in X \exists  n_{\varepsilon } \forall n > n_{\varepsilon }:\left | f_{n}\left ( x \right ) -  f \left ( x \right ) \right | < \varepsilon
f_{n}\underset{\underset{x}{\rightarrow}}{\rightarrow}f\overset{def }{\Leftrightarrow }\exists n_{\varepsilon } \forall x \in X \forall n \forall n_{\varepsilon }: \left | f_{n}\left ( x \right ) -  f \left ( x \right ) \right | < \varepsilon

Пример

Последовательность 1,x, x^{2},...,x^{n},... на отрезке \left[0, q \right], 0 < q < 1, сходится равномерно к функции, тождественно равной нулю. Действительно, если 0 \leq  x \leq  q то 0 \leq  x ^{n}\leq  q^{n}, n  = 1,2,... .

Так как \lim_{n \rightarrow \infty} q^{n} =  0, то для любого фиксированного \varepsilon > 0 существует такое n_{\varepsilon}, что q^{n}  n_{\varepsilon}. В силу неравенства 0 \leq  x ^{n}\leq  q^{n}, n  = 1,2,... , 0 \leq  x^{n}  n_{\varepsilon} и всех x \in \left[0, q \right].

Теорема

Последовательность функций \left\{f_{n} \right\}, определенных на множестве X, равномерно сходится на этом множестве к функции f в том и только том случае, когда \lim_{n \rightarrow  \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right)  - f\left(x \right)\right| = 0.

Доказательство

Если соблюдены все условия сходимости функциональных последовательностей, то для каждого \varepsilon > 0 существует такой номер n_{\varepsilon}, что для всех n > n_{\varepsilon} и всех x \in X выполняется неравенство \left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right|  n_{\varepsilon} будем иметь \underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| \leq  \frac{\varepsilon }{2} <  \varepsilon  , а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия \lim_{n \rightarrow  \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right)  - f\left(x \right)\right| = 0.

Обратное: Если данное условие выполнено, то, по определению конечного предела последовательности элементов из \bar{R}, для любого \varepsilon > 0 существует такой номер n_{\varepsilon}, что для всех n > n_{\varepsilon} выполняется неравенство \underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| <  \varepsilon  .

Отсюда следует, что для всех n > n_{\varepsilon} и всех x \in X справедливо неравенство \left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| <  \varepsilon  , т.е. выполняются условия определения.

В силу того, что почти все члены последовательностей верхних граней \underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right), n = 1,2,... \right|  , для равномерно сходящихся последовательностей функций конечны, критерий \lim_{n \rightarrow  \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right)  - f\left(x \right)\right| = 0, по существу, сводит понятие равномерной сходимости функциональной последовательности к понятию сходимости числовой последовательности.

Список литературы:

Тест по теме «Равномерная сходимость функциональных последовательностей»


Таблица лучших: Равномерная сходимость функциональных последовательностей

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *