Зависимость функций

Определение 1.

Пусть на множестве [latex]G\subset \mathbb{R}^n[/latex] заданы непрерывно дифференцируемые функции $$y_{i}=\varphi _{i},\varphi(x),\quad i=1,2,…,m,\quad x=(x_{1},…,x_{n})\in G.$$ 

Функция [latex]\varphi _{m}[/latex] называется зависимой на множестве [latex]G[/latex] от функции [latex]\varphi _{1},…,\varphi _{m-1}[/latex], если существуют множество [latex]D[/latex] в пространстве [latex]\mathbb{R}_{y_{1},…,y_{m-1}}^{m-1}[/latex] и непрерывно дифференцируемая на множестве [latex]D[/latex] функция [latex]\Phi (y_{1},…,y_{m-1})[/latex] такие, что в любой точке [latex]x\in G[/latex] выполняются условия [latex](\varphi _{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x))\in D[/latex] и [latex]\Phi (\varphi_{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x))=\varphi _{m}(x)[/latex].

Определение 2.

Функция системы называется зависимой на множестве [latex]G[/latex], если хоть одна функция системы [latex]y_{i}=\varphi _{i},i=1,2,…,m, x=(x_{1},…,x_{n})\in G[/latex] зависит от остальных, в противном случае она независима. 
Ответ на вопрос о зависимости системы функций основную роль играет  матрица Якоби этой системы. $$\frac{\partial (y_{1},…,y_{n})}{\partial (x_{1},…,x{n})},\quad i=1,2,…,m;\quad j=1,2,…,n,$$

Теорема (необходимое условие зависимости функций)

Пусть система функций [latex]y_{i}=\varphi _{i},i=1,2,…,m, x=(x_{1},…,x_{n})\in G[/latex]  зависима на множестве [latex]G[/latex] и [latex]m\leq n[/latex]. Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы Якоби меньше [latex]m[/latex].

Доказательство

По условию теоремы, функция зависима на множестве [latex]G[/latex], следовательно хоть одна функция системы зависит от остальных ( по определению 2). Пусть [latex]\varphi_{m}[/latex] зависит от [latex]\varphi _{m},…,\varphi_{m-1}[/latex]: $$\varphi _{m}(x)=\Phi (\varphi _{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x)),\quad x\in G,$$ где [latex]\Phi[/latex]-непрерывно дифференцируемая функция от [latex](m-1)[/latex] аргументов [latex]y_{1},…,y_{m-1}[/latex]. Следовательно $$\frac{\partial y_{m}}{\partial x_{j}}=\sum_{i=1}^{m-1}\frac{\partial \Phi }{\partial y_{i}}\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}\ для\ всех\ j=1,2,…,n. $$ Покажем, что m-я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией, это будет означать, что ранг матрицы меньше m в каждой точке [latex]x\in G[/latex].

Следствие 1

Пусть функция системы зависима на множестве [latex]G[/latex] и [latex]m=n[/latex] , тогда якобиан этой системы функции тождественно равен нулю во всех точках множества [latex]G[/latex].

Следствие 2

Пусть [latex]m\leq n[/latex] и пусть ранг матрицы Якоби хоть в одной точке множества G равен m, тогда система функций независима на множестве G.

Тесты

Зависимость функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал.

Таблица лучших: Зависимость функции

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *