Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций. Предположим, что в некоторой точке [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] числовая последовательность [latex]\left \{ f_{n}(x_{0}) \right \}[/latex] сходится, а функциональная последовательность [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex] равномерно сходится на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда исходная последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] равномерно сходится на [latex]\left[a;b\right][/latex] к непрерывно дифференцируемой функции [latex]f[/latex], причем для любого [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] справедливо равенство [latex]f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex].

Доказательство

Спойлер

Обозначим [latex]\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция [latex]\varphi[/latex] непрерывна на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Положим [latex]g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt[/latex]. Применим на отрезке с концами [latex]x_{0}[/latex] и [latex]x[/latex]теорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности [latex]\left \{ f’_{n}(t) \right \}[/latex]. Тогда получим
[latex]g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))[/latex]
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0})[/latex]. Тогда из равенства [latex]g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))[/latex] следует, что существует и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex], т.е. мы показали, что последовательность [latex]\left \{ f_{n}(x) \right \}[/latex] сходится на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Обозначим [latex]f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex] и получим, что [latex]g(x)=f(x)-f(x_{0})[/latex], а так как функция [latex]g[/latex] дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции [latex]\varphi[/latex]) и [latex]g'(x)=\varphi (x)[/latex](в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция [latex]f[/latex] также дифференцируема и [latex]f'(x)=\varphi (x)[/latex], т.е. функция [latex]f[/latex] имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство [latex]f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. Осталось показать, что последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]f[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Имеем
[latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |[/latex].
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших [latex]n[/latex], а первое оцениваем так:
[latex]\left | \int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f’_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f’_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt[/latex].
Теперь остается учесть, что последовательность [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]\varphi[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex], и тем самым завершается доказательство теоремы.

[свернуть]

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций [latex]\left \{ u_{n} \right \}[/latex], такая, что ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] сходится в некоторой точке [latex]x\in \left[a;b\right][/latex], а ряд из производных [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)[/latex] сходится равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда исходный ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] равномерно сходится на всем отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство [latex]\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right])[/latex].

Доказательство

Спойлер

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex].

[свернуть]

Теорема

Пусть на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] задана последовательность дифференцируемых функций [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex], сходящаяся в некоторой точке [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] и такова, что функциональная последовательность [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex] сходится равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] равномерно сходится на всем отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] к некоторой функции [latex]f[/latex], причем эта функция [latex]f[/latex] дифференцируема на [latex]\left[a;b\right][/latex] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

Спойлер

Зададим [latex]\varepsilon > 0[/latex]. По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex], существует такой номер [latex]N[/latex], что для всех [latex]n, m\geq N[/latex] и для любого [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] справедливо неравенство $$\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$$
Обозначим [latex]\varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x)[/latex]. Тогда [latex]\left | \varphi {}’_{n,m}(x) \right |< \varepsilon[/latex] и, в силу формулы Лагранжа, $$\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$$
Отсюда следует, что
$$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$$
Из этого неравенства видно, что последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим [latex]f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex]. Далее, для [latex]n,m\geq N[/latex] имеем $$\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$$
Это неравенство можем переписать так: $$\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon $$
Устремим [latex]n\rightarrow \infty [/latex] и тогда получим $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$$
Зафиксируем [latex]m\geq N[/latex] и найдем такое [latex]\delta >0[/latex], что для всех [latex]h[/latex], удовлетворяющих условию [latex]0< \left | h \right |< \delta [/latex], справедливо неравенство $$\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon $$
Тогда получим, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Если в неравенстве [latex]\left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon [/latex] ([latex]n, m\geq N[/latex]) перейдем к пределу при [latex]n\rightarrow \infty [/latex] (как уже доказано, он существует), то получим $$\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$$ где обозначено [latex]\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)[/latex]. Отсюда следует, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Это означает, что существует $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$$ .

[свернуть]

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *