Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть заданы последовательность функций [latex]f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,…[/latex] и функция [latex]f[/latex], определенные на множестве [latex]X[/latex]. Будем говорить, что указанная последовательность сходится к функции [latex]f[/latex] равномерно на множестве [latex]X[/latex], если для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] существует такой номер [latex]n_{\varepsilon}[/latex], что если [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex], то для всех [latex]x \in X[/latex] выполняется неравенство [latex]\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon [/latex].

Последовательность [latex]f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,…[/latex] называется равномерно сходящейся на множестве [latex]X[/latex], если существует функция [latex]f[/latex], к которой она равномерно сходится на [latex]X[/latex].

Очевидно, что если последовательность [latex]f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,…[/latex] равномерно сходится к функции [latex]f[/latex] на множестве [latex]X[/latex], то она и просто сходится к этой функции на [latex]X[/latex].

Если последовательность [latex]\left\{f_{n} \right\}[/latex] сходится на множестве [latex]X[/latex] к функции [latex]f[/latex], то символически будем записывать это так: [latex]f_{n}\underset{x}{\rightarrow}f[/latex].

Если же эта последовательность равномерно сходится на [latex]X[/latex] к функции [latex]f[/latex], то будем писать: [latex]f_{n}\underset{\underset{x}{\rightarrow}}{\rightarrow}f[/latex].

Заметим, что если последовательность [latex]f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,…[/latex] просто сходится к функции [latex]f[/latex] на множестве [latex]X[/latex], то это означает, что для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] и любого [latex]x \in X[/latex] существует номер [latex]n_{0} = n_{0}\left(\varepsilon ,x \right)[/latex], зависящий как от [latex]\varepsilon[/latex], так и от [latex]x[/latex], такой, что для всех номеров [latex]n > n_{0}[/latex] имеет место неравенство [latex]\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon [/latex].

my

Сущность равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] можно выбрать такой номер [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex], зависящий только от заданного [latex]\varepsilon[/latex] и не зависящий от выбора точки [latex]x \in X[/latex], что при [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex] неравенство [latex]\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon [/latex] будет выполняться всюду на множестве [latex]X[/latex], т.е. «графики» функций [latex]f_{n}[/latex] расположены в «[latex]\varepsilon[/latex] — полоске» , окружающей график функции [latex]f[/latex](рис. 1).

Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] при всех достаточно больших [latex]n[/latex](а именно при [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex]) значение функций [latex]f_{n}[/latex] приближают функцию [latex]f[/latex] с погрешностью, меньшей [latex]\varepsilon[/latex], сразу на всем множестве [latex]X[/latex].

Запишем для наглядности определения сходящихся и равномерно сходящихся на множестве [latex]X[/latex] последовательностей с помощью символов существования и всеобщности:

[latex]f_{n}\underset{x}{\rightarrow}f\overset{def }{\Leftrightarrow }\forall\varepsilon > 0 \forall x \in X \exists n_{\varepsilon } \forall n > n_{\varepsilon }:\left | f_{n}\left ( x \right ) — f \left ( x \right ) \right | < \varepsilon[/latex]
[latex]f_{n}\underset{\underset{x}{\rightarrow}}{\rightarrow}f\overset{def }{\Leftrightarrow }\exists n_{\varepsilon } \forall x \in X \forall n \forall n_{\varepsilon }: \left | f_{n}\left ( x \right ) — f \left ( x \right ) \right | < \varepsilon[/latex]

Пример

Последовательность [latex]1,x, x^{2},…,x^{n},…[/latex] на отрезке [latex]\left[0, q \right], 0 < q < 1[/latex], сходится равномерно к функции, тождественно равной нулю. Действительно, если [latex]0 \leq x \leq q[/latex] то [latex]0 \leq x ^{n}\leq q^{n}, n = 1,2,… [/latex].

Так как [latex]\lim_{n \rightarrow \infty} q^{n} = 0[/latex], то для любого фиксированного [latex]\varepsilon > 0 [/latex] существует такое [latex]n_{\varepsilon}[/latex], что [latex]q^{n} n_{\varepsilon}[/latex]. В силу неравенства [latex]0 \leq x ^{n}\leq q^{n}, n = 1,2,… [/latex], [latex]0 \leq x^{n} n_{\varepsilon}[/latex] и всех [latex]x \in \left[0, q \right][/latex].

Теорема

Последовательность функций [latex]\left\{f_{n} \right\}[/latex], определенных на множестве [latex]X[/latex], равномерно сходится на этом множестве к функции [latex]f[/latex] в том и только том случае, когда [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| = 0[/latex].

Доказательство

Если соблюдены все условия сходимости функциональных последовательностей, то для каждого [latex]\varepsilon > 0[/latex] существует такой номер [latex]n_{\varepsilon}[/latex], что для всех [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex] и всех [latex]x \in X[/latex] выполняется неравенство [latex]\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| n_{\varepsilon}[/latex] будем иметь [latex]\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| \leq \frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon [/latex], а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| = 0[/latex].

Обратное: Если данное условие выполнено, то, по определению конечного предела последовательности элементов из [latex]\bar{R}[/latex], для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] существует такой номер [latex]n_{\varepsilon}[/latex], что для всех [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex] выполняется неравенство [latex]\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon [/latex].

Отсюда следует, что для всех [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex] и всех [latex]x \in X[/latex] справедливо неравенство [latex]\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon [/latex], т.е. выполняются условия определения.

В силу того, что почти все члены последовательностей верхних граней [latex]\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right), n = 1,2,… \right| [/latex], для равномерно сходящихся последовательностей функций конечны, критерий [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| = 0[/latex], по существу, сводит понятие равномерной сходимости функциональной последовательности к понятию сходимости числовой последовательности.

Список литературы:

Тест по теме «Равномерная сходимость функциональных последовательностей»


Таблица лучших: Равномерная сходимость функциональных последовательностей

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *