М1693. О трёх окружностях

Задача из журнала «Квант» (1999, №4)

Условие

Две окружности пересекаются в точках \(P\) и \(Q\). Третья окружность с центром в точке \(P\) пересекает первую в точках \(A\), \(B\), а вторую в точках — \(C\) и \(D\) (см. рисунок). Докажите, что углы \(AQD\) и \(BQC\) равны.
1693

Решение

Треугольники \(APB\) и \(DPC\) равнобедренные. Обозначим углы при их основаниях \(\angle ABP =\angle BAP = \alpha \), \(\angle DCP =\angle CDP = \beta \). Четырехугольники \(AQBP\) и \(DQCP\) вписанные, отсюда \(\angle AQP =\angle ABP = \alpha \) и \(\angle DQP =\angle DCP = \beta \). Получаем: \(\angle AQD = \angle AQP + \angle DQP = \alpha + \beta \). Далее, \(\angle BQP =\angle BAP = \alpha \), также \(\angle CQP = \beta \) и \(\angle BQC = \angle BQP + \angle CQP = \alpha + \beta \). Значит, \(\angle AQD = \angle BQC\).

А. Заславский

М1693. О трёх окружностях: 2 комментария

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *