M1412.Сумма дробей

Условие

Натуральные числа x и y таковы, что сумма дробей \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ y\quad+\quad 1 } +\frac { { y }^{ 2 }-1 }{ x\quad+\quad 1 } — целое число. Докажите, что каждая из дробей — целое число.

Решение:

Пусть u — первая, v — вторая из этих дробей. Их сумма и произведение — целые числа, поэтому u и v корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами, скажем, { z }^{ 2 } + m \cdot z + n = 0. Так как u и v — рациональные корни, то дискриминант { m }^{ 2 }-4\cdot n этого уравнения — рациональное число и, более того, целое, причем той же четности, что и m.
Формулы Виета
Но тогда u и v — тоже целые, ведь u, v = \frac { -m+-\sqrt { { m }^{ 2 }-4\cdot n } }{ 2 }, а в числителе под корнем стоит четное число. Существует также много решений этой задачи, связанных с рассмотрением общих делителей чисел x + 1 и y + 1.

А.Перлин

M1412.Сумма дробей: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *