M1161. Задача о 10 бильярдных шарах

Задача из журнала «Квант»(1989, №5)

Условие

В бильярдном треугольнике вплотную помещается $10$ шаров. Докажите, что если в нем поместить $9$ шаров, то обязательно останется место для десятого (т.е. центры $9$ шаров расположатся по треугольной сетке)

Решение

Примем диаметр шара за $1$. Задача эквивалентна следующей: доказать, что если $9$ точек $K_1, K_2, \cdots, K_9$, попарные расстояния между которыми не меньше $1$, размещены в правильном треугольнике со стороной $3$, то они обязательно находятся в вершинах треугольной решетки со стороной $1$ (в $9$ из $10$ черных точек на рисунке 2). Достаточно доказать, что $6$ (или $7$) из точек $K_i$ находяться в пределах красного шестиугольника, причем они обязательно находяться в его вершинах или в центре $O$ — ведь в каждом угловом треугольнике со стороной $1$ (не на красной стороне) может находится лишь одна из точек $K_i$, причем если на его красной стороне есть другая точка $K_j$, то $K_i$ лежит в вершине большого треугольника.

Ясно, что если одна из $6$ точек $K_i$ внутри шестиугольника совпадает с $O$, то остальные лежат в вершинах. Если же все они отличны от $O$, то отрезки $OK_i$, проведенные в эти точки, образуют между собой углы $60^{\circ}$ (если $\angle K_i O K_j < 60^{\circ} $, $OK_i \leq 1$ , $OK_j \leq 1$, то $K_i K_j$ < 1 ) и $OK_i = 1$

По-видимому, верен и такой факт: если из $1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ шаров, вплотную уложенных в треугольную коробку, убрать один шар, то остальные обязательно будут распологаться по треугольной сетке — так что убранный шар можно уложить на место.